窦华书:一个力学公理的建立揭开了湍流的秘密

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图1 圆管流动中的puffs (van Doorne and Westerweel, 2009)

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湍流是国际上科学界公认的物理和数学方面的世纪难题,从雷诺1883年做的著名的层流到湍流转捩的圆管流动实验以来,至今已经经过了140年。今天,湍流这一世纪科学难题已经得到破解了 [1-4],且理论与实验数据完全一致。为了让读者更加容易理解,今天再次简要叙述一下湍流破解的核心问题。
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作者于2004年建立起了能量梯度理论(Energy Gradient Theory, EGT),研究层流向湍流的转捩。经过利用能量梯度理论的研究,后来发现,在所有的剪切流动中,湍流转捩都是通过在流场中形成Navier-Stokes方程的奇点而完成的。在这些奇点处,总的机械能的梯度垂直于流线,流动具有接近于零的速度,局部具有特别高的涡量,如边界层流动中的猝发及形成的湍流斑,圆管流动中的puffs(图1)等。怎么从Navier-Stokes方程及其理论上论证这些点是Navier-Stokes方程的奇点,怎么定义这类奇点,奇点的特性要同时符合数学和物理上对奇点的定义,还要让读者信服,这些成为了一大难题。在过去的20多年里,作者通过持续不断地努力,创立了一系列公理,其中一个公理架起了论证奇点的桥梁,论文于2021年发表,从此揭开了湍流的秘密。7 R. H8 ?9 x9 K7 n$ l5 m
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3 o. g* _* y8 b$ J$ d# ^3 P计算流体力学(CFD)一般基于两种方法,一是连续力学方法,即Navier-Stokes方程(NS方程),具体采用的数值方法主要有有限差分方法、有限体积方法和有限元方法。二是基于粒子力学的离散方法,如SPH、DPD、LBM等方法。这两种方法的基础和出发方程都是牛顿第二定律。' k, g+ P! s/ x
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牛顿第二定律是物质运动的动量方程,对不可压缩流体,其沿路径积分就是机械能方程,如果是无粘流动,就是伯努利方程。+ p6 ?: b# t% m0 z
上面所提及的CFD的两种数值方法,实际上都是隐含了这样一个事实,即消耗在流体微元体或者流体粒子上的机械能与流体的速度成正比。因为流体微元体消耗的能量就等于其周围流体对其做的功,根据做功的定义和功率的定义,我们有 A=Nt=Fut。我们对比下面2个例子:
. n' l1 _0 C+ o, P4 v( \(1)对流体质点或粒子做的功为 A=Nt=Fut,其中F为粒子所受的摩擦阻力,u为速度,N为功率,t为时间。如果对流体粒子做的功A=0(也就是流体质点消耗的机械能为零delta E=0 或者dE/dx=0),则此粒子速度u=0,如图2。
0 I$ x" ]8 X! t3 n(2)一台汽车的动力学支配方程也是,A=Nt=Fut,如果一台运行的汽车,当汽车的发动机熄火,即功率N=0,则汽车的速度立刻变为零u=0 (不考虑汽车惯性;考虑惯性也没有问题,就是需要经过很小的一段时间,u才变为零),如图2。
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图2 (a)行驶中的汽车;(b)运动中的流体质点。

+ E* n* O7 o' F6 c* ^现代力学中,上面的2个例子是自然界存在的事实,简单的道理也是显而易见的,但是科学史上不存在这样的公理或者定理。窦华书为了论证和揭示湍流的产生原理,针对不可压缩流体,创立了这样一个公理:如果消耗(作用)在流体质点上的机械能为零,则质点的速度为零。正是基于这样一个公理(书中的公理5.3 [1]),窦华书通过理论推导,发现并证明了湍流产生的物理机理(图3),这就是国际上几代科学家奋斗了140年(1883-2023),都未能找到的湍流的秘密 [1-4]。
% j, r1 }  l% t% L6 m3 n1 B上述公理实际上就是对能量守恒定律的另一种描述,首先对固体力学里的物体是适用的,然后才把这个原理用到流场中的流体质点上。只不过是,以前流体力学里从来没有对流体质点的这样的描述。如果流体力学里,以前就有这样的公理,可能湍流产生的问题早就解决了,也不会等上140年。: c7 B  ?- s( j- ]( ^, M  v, w
当大量流体质点在牛顿第二定律支配下流动时,都服从A=Nt=Fut这样的规律。当流动速度比较高时,如果在扰动作用下,流场里面突然有的流体质点,消耗的能量突然消失即N=0(在NS方程中写为dE/dx=0),则这个流体质点的运动立刻停止即u=0,这个流体质点,就成为了流场中的奇点。因为其它大量的流体质点,都是在流动,速度都不为零(边界除外),都要消耗能量,这个粒子突然速度为零,就和周围的流体粒子之间形成了间断。在非定常流动中,这个间断在扰动的一个周期内,只有一个瞬时,即发生间断的时间长度为零,但又是存在的。虽然时间极其短暂,但是为了满足Navier-Stokes方程,u=0是必须确实要发生的。这个发生间断的流体粒子(奇点)引起了速度的valley(spike产生)和压力的peak,这导致了三个速度分量及压力的涨落(脉动),以及涨落的对流,湍流就此发生了。
' }  }' y# z2 Q% A0 I! W% v导致湍流产生的奇点指的是非定常流动中速度的间断(瞬时的u=0),而不是爆破(blowing up)。湍流中的这类奇点是窦华书首次发现的,也是窦华书首次给予定义的。在此之前,从来没有人知道湍流中存在这类奇点,窦华书从NS方程推导出了这类奇点,然后从实验数据和直接数值模拟数据得到验证,发现理论与实验完全一致。到现在为止,无论理论、实验,还是NS方程的计算,都没有人发现湍流中出现爆破(blowing up)。
/ B+ W7 N; ~5 g, C; f  \  D上述湍流发生的物理机理,是通过NS方程严格而精确地推导出来的(图3),是实验严格验证的(图4),也是DNS模拟结果验证的,互相印证,完全一致,至此,研究了200年的NS方程和研究了140年的湍流,就此露出了真面目。
& X1 C4 j$ ~& q7 C% }, N湍流的问题100多年没有解决,就是缺少上面这样一个公理。建立了这样一个公理,湍流的秘密就此揭开了,NS方程的秘密也就找到了[1-4]。如果用公式表述一下这个公理,就是,沿着流体流动的流线方向(速度矢量的方向):
  @( ^/ Y4 e( w) ]) ]) H8 y       当 dE/dx=0,  我们有  u=0 (theoretically)。
6 a: o4 n9 z1 w( D" U实际上,作者在2004和2006年的文章里,就指出了在速度剖面的拐点处,粘性项为零,此处机械能梯度垂直于流线,沿流线的速度应为零。在2008年的APS文章里,指出机械能梯度垂直于流线的位置是NS方程的奇点,并指出转捩流动通过这个奇点转捩为湍流。可是,根据什么理由来得出在拐点位置,此处u=0的结论,是一个难题,虽然心里非常明白这个结论是正确的。为了得出这个结果,作者创立了上述这个公理。公理是不需要证明的,而定理需要证明。$ f! Y6 F6 K! `* a

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图3 奇点(速度间断)的精确推导,假定初始的三维channel flow沿展向没有变化。方程如果写为三维的即沿展向有变化的,只要拉普拉斯算子为零(此点无能量损失),结果都一样。在扰动流动中,速度分布是畸变的,流场中存在Laplace算子瞬时为零的点。据此,得到了在非定常流动中,在Laplace算子瞬时为零的点上,pu/pt=0, pE/px=0,根据公理5.3,在此时此点,u=0。预测结果如图中右下角的picture。5 T; B7 |. V& O- E9 R& L8 r3 Z4 h
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2 L; g9 q: t) B% M. K9 ~图4 转捩流动中奇点的实验验证(channel flow),这是层流到湍流转捩的开始阶段。上面的信号记录的为x方向的速度随时间变化。下面的信号为上游输入的扰动信号随时间的变化。可以看出,当扰动经过一个周期,速度u就发生一次间断u=0(negative spike)。而且,间断点发生在扰动的top pu/pt=0的时刻,与图3中的理论推导完全一致。实验表明,在进一步的下游,这个速度间断形成的spike, 会变为2个spikes, 三个spikes,多个spikes,再进一步地,变为湍流斑。  l' e5 x5 w6 J. w5 a  }5 O0 r8 O/ o

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现在解释一下图3(理论)和图4(实验)中,速度间断u=0为什么只发生在扰动的上面pu/pt=0的位置,为什么没有发生在扰动的下面pu/pt=0的位置。周期性的扰动导致速度剖面发生周期性的变化,一个周期内速度剖面在“胖”和“瘦”之间交替变化,大量实验数据证实了这种变化(如Kachanov 1994)。当扰动在top的pu/pt=0的位置时,速度的剖面是“瘦的”,有拐点,Laplace算子为零,这样根据NS方程推导,pE/px=0,导致速度发生间断u=0。当扰动在bottom的pu/pt=0的位置时,速度的剖面是“胖的”,没有拐点,Laplace算子不为零,这样根据NS方程推导,pE/px不等于0,没有发生间断。
4 X* y2 u4 Z. ^5 b5 r0 n* Y% U  Z爱因斯坦的相对论很简单,一个质能关系式E=mc^2。湍流产生的理论也非常简单,就图3一张PPT,所有理论推导就全包括了,这样的推导结果严格精确。在转捩流动中,所有拉普拉斯算子为零的点,都是NS方程的奇点(压力驱动流动),都是湍流的生成中心,即大涡产生的位置。然后,由第一级大涡的影响导致的流场,按同样的机理逐级产生小涡,最后形成完全发展的湍流。这与Kolmogorov的K41理论的概念是一致的,与分叉理论,与分形理论,都是一致的。另外,作者发现的NS方程的奇点,就是动力系统中的鞍点。需要指出的是K41理论那只是假设,而作者这是理论,通过NS方程的精确推导得出的理论。2 D1 g/ Y  O* r9 J+ ^+ g. }1 U% c! m8 z, I
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归根到底,层流到湍流的转捩是因为NS方程的奇点生成,湍流是由大量NS方程的奇点组成。图5中许多研究者所研究的若干湍流有关的现象或者湍流机理,其产生根源都是窦华书所发现的NS方程的奇点。如果把NS方程的奇点理解了,所有这些现象就都清楚了。
% @" q4 G) q- Z2 K" ]. }/ k0 L过去140年来,国际上没有任何人能够通过理论,精确预测和解释湍流的产生。窦华书在国际上首次通过能量梯度理论和NS方程分析解决了这个问题,理论结果与实验数据完全一致,并且得到了湍流转捩的准则。即,湍流转捩/湍流产生的必要及充分条件是流场中出现NS方程的奇点(速度间断)[1-4]。% a$ D5 B. `5 h" L- p  d, P
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图5 转捩流动及湍流中的所有现象和机理都是来源于NS方程的奇点
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作者的湍流专著[1]2022年3月底在Springer出版后,引起了读者的极大关注,12个月已经被下载了26000多次,在工程类书籍排名第一(一般的工程、力学、机械类书籍一年下载量也就1千次左右)。为了使读者理解湍流的产生机理,作者已经在科学网和知乎网及流体空间、风流之音、声振之家等微信公众号写了20多篇科普文章。为了使读者更容易理解,今天以3页PPT作为素材,再次简明扼要地讲解了NS方程是经历了怎样的变化过程导致了湍流,且理论与实验数据完全一致。
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1. Dou, H.-S., Origin of Turbulence-Energy Gradient Theory, 2022, Springer.  1 ?8 e( o) V% ~0 f0 q. y% c
www.52ocean.cn  ps://10.1007/978-981-19-0087-7 (全书下载地址).
1 W) `) h+ V& I+ b2.窦华书教授成功破解了百年湍流难题,中国教育日报网。  ' `% Z, X- U7 Q: K) J  X) H
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4 R% v( t% [2 V, W- v. j& s 022/1117/1327.html3.窦华书教授在纳维-斯托克斯方程问题上取得新进展,浙江理工大学官网新闻。  / d# X; [. r# \0 b/ l: f
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www.52ocean.cn033/41169.htm, Z; l( k% |; l7 h

- z* w" T% w5 @3 R1 d4. 窦华书:我是怎样创立能量梯度理论的。
" p; z0 ]! X" w8 lwww.52ocean.cn  www.52ocean.cn; ^9 Y' X) m4 J
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三观道人
活跃在2025-1-26
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