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图1 河流中的湍流 : {1 J0 Z9 x9 D, x& l' S0 X
Navier-Stokes 方程可以描述湍流吗？这是一个非常难非常难的问题。因为首先Navier-Stokes方程的正则性问题的性质，至今还没有搞清楚，并且是2000年美国Clay数学研究所所确定的七个千禧年大奖难题之一，也是美国Science杂志2021年所发布的全世界最前沿的125个科学问题之二。其次，湍流的产生机理在科学界至今还没有一个得到普遍承认的一致性的看法。
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湍流有3个重大科学问题：（一）湍流是怎么产生的（层流湍流转捩的原因）？（二）完全发展的湍流是怎么维持的？（三）NS方程有没有光滑解？
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W1 \$ m# @% P1 |如果要回答题目所提出的问题，必须先回答上面三个问题。如果把这3个问题回答清楚了，楼主的问题就清楚了。# a; j" w L# g% `% ]3 ?4 s$ x
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（一）湍流转捩问题，存在2种奇点理论$ Z H4 Q' n6 H" x6 r- n; k
1883年英国科学家雷诺做了著名的圆管流动实验，显示了雷诺数是一个描述决定层流到湍流转捩的一个重要的无因次参数。这个雷诺数，我们通过NS方程无因次化，也可以推导出来，它表征了流动中对流项和粘性项的相对大小。一般说来，湍流转捩是随着雷诺数的增大而产生的。可是有时也存在反例，发现雷诺数的大小并不能反应湍流的产生与否。客观上，这种反常现象已经为湍流研究者指明了解决湍流问题的路径，可惜的是，很少有人注意到这些。解决一个反例就向真理前进一步！
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3 g' [: V: Y5 |! z9 C' d过去100多年来，科学家多是从流动稳定性来理解湍流转捩。并提出了若干个流动稳定性理论，可是预测湍流转捩几乎都失败了（起码这些理论不能普遍适用，都存在反例），包括线性稳定性理论、非线性理论、弱非线性理论、二次失稳理论、Non-modal 理论（瞬态增长）等。重要的是这些理论中，没有一个能够合理解释湍流的产生。比如湍流中的最主要的事件，猝发（burst），包括上抛下掠现象，间歇性，拟序结构，就没有一个理论能解释得了。还有湍流怎么从平均流动获得能量，更是难题中的难题。湍流问题真的是太难了！
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根据实验数据和DNS数据，可以发现，湍流转捩实际上是一个临界现象。从一般拓扑学和从偏微分方程理论，以及动力系统理论，来理解湍流转捩问题，层流到湍流转捩，应该是一个流动经历奇点的问题。窦华书发现，湍流转捩通过奇点产生和释放来实现，而上面提及的以前的各种稳定性理论，几乎都是探究层流受扰动后扰动的幅值增长，没有向奇点这方面考虑。目前提出引起湍流的奇点的理论有下面2个突出的工作：
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& d+ t& a- {: X# A% d; ^（1）1934年法国数学家Leray提出（1979年Wolf数学奖获得者），湍流产生可能是流体中，由于线涡的存在，引起流体局部加速，也就是旋涡拉伸，使得流体瞬间加速到速度无穷大，产生爆破（blow up）,导致了湍流产生。可是从那之后，人们从来没有发现自然界湍流中有blow up的存在，自然界流体产生blow up也是不可能的。至于NS方程的blow up，没有证明blow up的存在，也没有证否blow up的存在。
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]* ]1 S* t- C5 D2 I（2）2004年，窦华书提出了能量梯度理论来研究流动稳定性和湍流转捩问题。2021和2022年，窦华书通过应用能量梯度理论对NS方程的理论推导和泊松方程分析，从两种不同的路径，证明了湍流产生是由于流场中速度畸变，引起NS方程中的Laplace项为零，形成速度间断导致的，这个间断点（u=0）是NS方程的奇点。奇点的释放引起了湍流的猝发（burst）及压力波。理论与大量实验数据和DNS数据获得了一致。结论是，基于能量梯度理论的NS方程的奇点理论精确地预测了层流到湍流的转捩问题 [1-4]。
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（二）完全发展的湍流的维持问题，存在2种理论: U+ x# R' {8 h. q1 f: b" [0 j
（1）著名气象学家Richardson在1922年提出了湍流级串的理论，认为湍流中存在从大涡到小涡的能量传递的级串现象，并写了一首诗来描述此现象。1941年，前苏联数学家Kolmgorov和他的学生Obukhov通过统计理论分析，按照波数大小，把湍流能谱分为三个区间，即含能区、惯性区和耗散区。然后，利用湍流能量的因次分析，对惯性区，提出了著名的K41理论，显示湍流的能量是波数的-5/3次幂次律关系。这个理论与大量高雷诺数的实验数据符合良好，但是也有大量实验数据不符合这个关系。特别是K41理论不能解释大涡是怎么产生的、大涡的能量从哪里来的。
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& E6 n' J" m- v9 u; U7 o. E（2）窦华书提出了能量梯度理论（2004），2021年解释了完全发展的湍流的维持机理，湍流流场是由NS方程的大量奇点（旋涡）所组成的，湍流的维持是依靠流场中持续不断地产生NS方程的奇点来实现的，湍流实际上处于奇点产生的一种动态平衡之中。大涡的产生、大涡的能量从平均流动传递到湍流，就是通过流场中最大尺度的奇点处的速度间断实现的。小涡的能量也是通过奇点产生从流场里获得的、通过奇点而传递的 [1-4]。
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通过能量梯度理论的研究表明，NS方程精确地描述了流动与扰动相互干扰后的流动的发展，精确地描述了湍流的产生机理，包括猝发（包括上抛下掠、压力波产生）、间歇性、拟序结构、不规则性、涡的级串、大涡能量的来源，等等。窦华书的能量梯度理论是唯一的一个能够全面解释这些现象的理论。
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+ Q9 q: n+ R9 i8 T1 K/ X& Y- ]研究发现，三维不可压缩流体的NS方程是一个确定性的方程，在合适的边界条件和初始条件下，描述了确定性的现象。NS方程的DNS计算出的大尺度旋涡具有一定的规律性，小尺度的旋涡是不规则的，但是不存在随机运动，都是确定性的运动。 y, }8 ^0 ?( r: J1 E
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3 m0 l' x+ N4 X7 J需要指出，K41理论与NS方程不一致。能量梯度理论与NS方程一致。1 c" I6 n+ b# S; h) y& J3 z4 d
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（三）NS方程有没有光滑解？
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（1）Navier-Stokes 方程不存在爆破（blow up）
& T9 p3 F6 B+ p [3 F为了统一和理解方便，首先定义名词：blow up（爆破）：指的是流体中的局部速度达到无穷大，成为一种奇点 （Leray 1934）。
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在数值计算中，blow up，一般指的是运算中，分母变为零值，计算发散。" I# W9 ?6 c( w! i# D
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Leray（1934）认为，三维流动中旋涡的拉伸（vortex stretch）,有可能导致局部速度达到无穷大（漩涡的拉伸在二维流动中不存在），此现象称之为 blow up。从那时起，这个看法在文献中一直沿用至今。可是，到现在也没有找到关于blow up 发生的可信的证据。& f9 G$ J0 y6 O* d0 {! M" ~' z; J
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另外，二维流动中，不存在湍流（李政道先生1951年有一篇1页的文章进行了证明），与旋涡不存在拉伸有关系。
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1 ^4 }( Q- I3 g6 F v* v$ [$ k一般来说，如果局部速度达到无穷大，那么局部涡量也是无穷大。但是，反过来不一定成立，即，如果局部涡量达到无穷大，则局部速度不一定达到无穷大。这一点我们要引起注意。因为有的作者在研究中，计算的是涡量的快速增长，进而涡量变为无穷大，或涡量峰值，认为此时发生了blow up。本人认为这是不合适的，这会引起误导。（虽然这些文章发表在了顶级期刊上，这些严重的概念错误和结果错误，我们还是要指出来）。
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我们大家都清楚地知道，自然界中实际的流体速度总是有限的，不可能发生blow up。主要原因应该是流体具有粘性，自然界不存在使得流体速度达到无穷大的能量，也不可能用做功方式使得流体速度达到无穷大。
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$ ?4 a6 b" A; g8 O0 M6 I许多研究者认为，尽管实际的自然界流动中不存在blow up，但是NS方程也有可能会发生blow up，如果发生这种情况，说明NS方程就不可以描述自然界的流体流动了，NS方程就失效了，这时，我们必须找到一个比NS方程更好的方法来表达流体流动。（P. Constantin, Princeton U; T. Tao, UCLA；等人）。! B$ t2 E* V/ l
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可是，到底NS 方程会不会发生blow up， 还没有公认的统一的结论或者可靠的证据。这正是千禧年大奖难题之一。
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6 ^+ T" R: W a5 f, E% y& C/ E0 C# i现在，本人的研究发现，三维不可压缩流体的 NS方程是一个机械能守恒方程。NS方程本身是能量守恒的，而Blow up 违反了能量守恒定律，因此，NS方程不可能发生Blow up。
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4 p# H/ k( d" t7 e( I$ h( f( {结论：Navier-Stokes 方程不存在爆破（blow up），根据是否爆破来证明NS方程是否存在光滑解是一个错误的命题。5 y" i& U) p8 r8 m, t. {0 x" u$ P
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% O2 c/ h* F7 I( I) V" U( T（2）Navier-Stokes 方程存在速度间断（奇点）9 D& X* R/ M8 V( `( h; v
在转捩流动和湍流中，速度剖面发生畸变。在流场中出现若干个Laplace算子为零的点。在这些点上，发生了周期性的速度间断（u=0），即奇点。因为奇点（速度间断）的存在，在奇点处速度没有导数，没有解。即使NS方程在流场中其它区域都有解，但由于在奇点处没有解，所以，NS方程不存在全局域上连续的光滑解（对转捩流动和湍流流动）。
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' j/ W. v2 `1 q. j1 B因此，对千禧年大奖难题之一NS方程的正确答案是，对转捩流动和湍流，NS方程不存在全局域上连续的光滑解（因为奇点存在，即速度间断）（Dou 2021, Dou 2022）。1 U0 o/ }& g; c7 C8 _* K% h
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（四）总结/ h2 ?7 q' b3 l# l! p# y n) ^
（1）NS方程的奇点正是湍流产生的原因。NS方程在奇点导致了湍流Burst(包括上抛和下掠)。因为NS方程在奇点处没有解，这导致了NS方程不存在全局域上的光滑解。
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（2）因为NS方程的奇点，才产生了湍流。如果NS方程有光滑解，没有了奇点，那么它就不能描述湍流了。这正是NS方程的奇妙之处！5 Y* q5 k+ t- \0 d$ n, `8 y3 z
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（3）窦华书的能量梯度理论是唯一的一个正确描述湍流转捩和完全发展湍流的理论。湍流转捩的机理不是扰动幅值增大，而是奇点产生。理论与实验完全一致[1-4]。
* k: r2 h1 o8 J5 U结论：NS 方程可以完美地描述湍流。# y, y% \; ?; B( i
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参考文献
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https://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=3057857&do=blog&id=1373263 或 https://mp.weixin.qq.com/s/tujupDNxbClLCFXGBKJVIA- v) e% t9 m) ~
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