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海洋动力学 -海洋动力学 引擎

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/ s8 a' S7 J6 f; y; j3 Z% Z) y; W

这篇文章介绍一下SEA驱动器中:

线性动力学模型及其简化(Linear Dynamics Model and its Simplification);力矩求导(Torque Derivation)

这两块的内容是后续分析SEA弹性体刚度选择(Stiffness Selection)和相关SEA力矩控制(Torque Control)响应及性能的基础。因为SEA已经出现了将近20年,所以线性动力学模型和相关力矩求导都是经典内容——Nothing Special.

4 B6 Z7 m+ m9 X+ s: Y" }& o

我希望通过我的解释,能够让之前没有了解过SEA的伙伴们快速入门。

9 A: E4 U* D" J% U* [) t; q7 N# }

阅读提示(线性动力学模型Eq. 7,Eq. 8重要,力矩求导Eq. 13重要,结论性公式)

3 Z& x6 s" u9 j$ U+ {3 x

线性动力学模型:

: }( J1 x" B6 E; O X) _) s" Z
8 @& d+ ~ ~9 u2 Q" g0 c

上图展示了SEA驱动器的实际物理结构(左图),我着重圈出了三个方块:

红色方块: 电机转子(Motor Rotor)绿色方块:减速箱(Gearbox)蓝色方块:输出端(Load)其中减速箱端与输出端串联关键的弹性体

对应的物理模型如上右图所示:红色(Motor)---绿色(Gearbox)---输出端(Load)

" J3 Q7 D# u+ l( E4 r' n

其中:

; \. A% p/ ?/ u# y$ q

Im:I_{m}: 电机转子惯量; Ig:I_{g}: 齿轮箱惯量; Il:I_{l}: 输出端惯量;

2 m; h+ V. G2 @- a, \: S4 h

kg,dmg:k_{g}, d_{mg}: 齿轮箱端与电机端之间的刚度与阻尼;

: p# |+ {# B- Q. @/ b6 w) u' Q8 @

kb,dgl:k_{b}, d_{gl}: 输出端与齿轮箱端之间的刚度与阻尼;

% j7 p' G% @' O7 v

qm,qg,ql:q_{m}, q_{g}, q_{l}: 电机端,齿轮箱端,输出端绝对位置;

8 J, D! B& h/ P, r2 s _3 C/ p

τm,τe:\tau_{m}, \tau_{e}: 电机端输出扭矩(电机线圈产生),输出端扭矩(与外部环境交互产生);

& U+ n( g- d9 O- _3 T

dm,dg,dl:d_{m}, d_{g}, d_{l}: 电机、齿轮箱与输出端与驱动器外壳间的粘滞阻尼;

! r4 v7 s) f7 X0 F

△=qg−ql:\triangle=q_{g}-q_{l}: 输出端与齿轮箱端绝对位置偏角(重要参数)

( w* j2 V3 k' e% O& B

线性动力学的模型的核心其实就是各个模块上的扭矩平衡,如下:

* o" B) I0 x5 v+ M

电机端扭矩平衡Eq. 1:

0 A5 O2 R) l9 Q- c# ?: p1 p

Imqm¨=τm−dmqm˙+dmg(qg˙−qm˙)+kg(qg−qm)I_{m}\ddot{q_{m}}=\tau_{m}-d_{m}\dot{q_{m}}+d_{mg}(\dot{q_{g}}-\dot{q_{m}})+k_{g}(q_{g}-q_{m}) ;

; s: W7 {; K' t* U5 r

齿轮箱端扭矩平衡Eq. 2:

. V- {7 O# l4 Y5 j

Igqg¨=−dgqg˙−dmg(qg˙−qm˙)−kg(qg−qm)+dgl(ql˙−qg˙)+kb(ql−qg)I_{g}\ddot{q_{g}}=-d_{g}\dot{q_{g}}-d_{mg}(\dot{q_{g}}-\dot{q_{m}})-k_{g}(q_{g}-q_{m})+d_{gl}(\dot{q_{l}}-\dot{q_{g}})+k_{b}(q_{l}-q_{g}) ;

4 K, }' G$ h! q- ^

输出端扭矩平衡Eq. 3:

/ ~% g |$ m9 }9 ~1 v

Ilql¨=τe−dlql˙−dgl(ql˙−qg˙)−kb(ql−qg)I_{l}\ddot{q_{l}}=\tau_{e}-d_{l}\dot{q_{l}}-d_{gl}(\dot{q_{l}}-\dot{q_{g}})-k_{b}(q_{l}-q_{g}) ;

7 S/ M: q# K9 ~- S y% }. g

这里还需要提及到的是在Eq. 3中的最后两项可以写成如下的形式Eq. 4 (重要!):

. U& T/ L! D7 C6 U: H

−dgl(ql˙−qg˙)−kb(ql−qg)=kb△+dgl△˙=τ;-d_{gl}(\dot{q_{l}}-\dot{q_{g}})-k_{b}(q_{l}-q_{g})=k_{b}\triangle+d_{gl}\dot{\triangle}=\tau;

$ w- ?! l% A. n

注意:这里的 τ\tau 是和之前的定义的 τe\tau_{e} 是有区别的, τ\tau 在这里是齿轮箱向输出端传递的力矩。当处于输出平衡状态时,有如下等式Eq. 5:

2 e: e7 y3 {% }1 z: q1 I

−τe=τ−dlql˙;-\tau_{e}=\tau-d_{l}\dot{q_{l}};

: K6 k6 m7 [- O5 i7 ~) {& ~

工程经验:即使在输出端环节, τ,τe\tau,\tau_{e} 也是相差一个 dlql˙d_{l}\dot{q_{l}} ,这里的dld_{l} 是输出端与驱动器外壳的粘滞系数,与机械设计环节轴孔支撑的公差与装配手艺有重要的关系。

- `+ M l1 i$ x! ?7 A( R

模型简化:

* g& W) H" j8 n- z. Q

首先对于Eq. 4可以简化为Eq. 6:

+ c; a+ P& C- X2 Q2 R

τ=kb△+dgl△˙⇒τ≈kb△;\tau=k_{b}\triangle+d_{gl}\dot{\triangle}\Rightarrow \tau\approx k_{b}\triangle;

/ L9 [$ v |6 X2 l- Y

(一般齿轮箱与输出端的弹性体都是金属材料,其阻尼系数可以忽略不计,即 dgl≈0d_{gl}\approx0

* `$ F5 @) T* ~; U+ E- n

对于大部分SEA驱动器而言,谐波减速器的刚度都远远大于柔性传动元件,因此我们可以将谐波减速器考虑成刚体(Rigid Body),即:

( A6 w% r$ {# p* R% r, ^5 K

qm≡qg,qm˙≡qg˙,qm¨≡qg¨;q_{m}\equiv q_{g}, \dot{q_{m}}\equiv \dot{q_{g}}, \ddot{q_{m}}\equiv \ddot{q_{g}};

+ ~+ `, o S: N+ s

所以对于Eq. 1与Eq. 2我们可以简化成如下Eq. 7 (重要!):

5 F% ~' b' w# K2 w/ t2 C

(Im+Ig)qm¨=τm+kb(ql−qm)+dgl(ql˙−qm˙)−(dm+dg)qm˙;(I_{m}+I_{g})\ddot{q_{m}}=\tau_{m}+k_{b}(q_{l}-q_{m})+d_{gl}(\dot{q_{l}}-\dot{q_{m}})-(d_{m}+d_{g})\dot{q_{m}};

6 c% m: C7 y7 v H

对于Eq. 3可以改写成如下Eq. 8:

4 Q0 k% _5 w& c8 m

Ilql¨=τe−dlql˙−dgl(ql˙−qm˙)−kb(ql−qm);I_{l}\ddot{q_{l}}=\tau_{e}-d_{l}\dot{q_{l}}-d_{gl}(\dot{q_{l}}-\dot{q_{m}})-k_{b}(q_{l}-q_{m});

' D" i& U8 G- l: l' t5 G& x9 N

力矩求导:

3 \) |; p: u4 F' \- ^

这部分内容中通过拉普拉斯变换与一系列数学推导,我们将试图得到在频域下:

/ [4 Q& `0 e& [0 {* t, B- ]

输出量 τ(s)\tau(s) 与输入量 τ∗(s),ql(s)\tau^{\ast}(s), q_{l}(s) 之间的关系:

+ a& T, }! h6 i: ]* ?6 a' X

τ(s)\tau(s) :频域下实际输出扭矩——电机端传递到输出端;

( b. H' l0 p5 I4 I; N+ k

τ∗(s)\tau^{\ast}(s) :频域下目标扭矩;

% ^$ D8 n( P) X% o# D

ql(s)q_{l}(s) :频域下输出端绝对位置;

, z" Z, K- D7 H) p7 k

以上即为处理公式Eq. 7的数学目标。

! w6 ]: k0 p q2 S4 n* l! ^

1. 处理 qm(s)q_{m}(s)

/ l7 u0 h! b4 T1 N \+ D- D

首先,对线性动力学模型得到的Eq. 7进行拉普拉斯变换,并代入 qm(s)−ql(s):=△(s)q_{m}(s)-q_{l}(s):=\triangle(s) 进行改写,我们得到Eq. 9:

; g; Q# P* P0 g3 D- `$ a$ j

[Is2+(dM+dgl)s+kb]△(s)=−[Is2+dMs]ql(s)+τm(s);where,I=Im+Ig,dM=dm+dg[Is^{2}+(d_{M}+d_{gl})s+k_{b}]\triangle(s)=-[Is^{2}+d_{M}s]q_{l}(s)+\tau_{m}(s); \\where, I = I_{m}+I_{g}, d_{M}=d_{m}+d_{g}

/ I" S3 J1 q$ w+ m6 |; m2 L

我们仔细观察Eq. 9, 通过 qm(s)−ql(s):=△(s)q_{m}(s)-q_{l}(s):=\triangle(s) 的代入,我们已经消除了 qm(s)q_{m}(s) 这个电机端的位置变量,下一步要做的就是处理 τm(s)\tau_{m}(s) 这个电机端的输出力矩。

1 Q9 x! N D9 v L; z

2. 处理 τm(s)\tau_{m}(s)

! c& u8 H# ]% {/ Y: ]

假设我们使用了一种如下形式的反馈控制器,

* u6 U$ j- J+ x& J

C(s)=Kp+Kds;C(s)=K_{p}+K_{d}s;

( y* i f% e8 D+ V( _

这种控制器是用来测量角度偏转 \triangle , 并且假设前馈控制为 ()λ(s)\lambda(s),

3 U$ k" [$ A- b. N2 e- n

那么我们得到如下Eq .10:

' c+ \( i$ h9 C+ H& A6 t5 _

τm(s)=C(s)(τ∗(s)−τ(s))+λ(s)τ∗(s);where,τ(s)≈kb△(s)\tau_{m}(s)=C(s)(\tau^{\ast}(s)-\tau(s))+\lambda(s)\tau^{\ast}(s); \\where, \tau(s)\approx k_{b}\triangle(s)

" t+ n5 v6 X; O$ P1 U4 s; I( e, d

将Eq .10代入Eq. 9, 我们将得到Eq. 11:

3 J, X" p9 _2 B6 I9 v# n; F

[Is2+(dM+dgl)s+kb(1+C(s))]△(s)=−[Is2+dMs]ql(s)+[C(s)+λ(s)]τ∗(s);[Is^{2}+(d_{M}+d_{gl})s+k_{b}(1+C(s))]\triangle(s)=-[Is^{2}+d_{M}s]q_{l}(s)+[C(s)+\lambda(s)]\tau^{\ast}(s);

Y% r- K7 M0 [. z/ E5 c" A

这里,我们看到Eq. 11中,我们要的 τ∗(s),ql(s)\tau^{\ast}(s), q_{l}(s) 都已经在等号右边出现。

2 n' |: i* l3 Z; ^7 r: t

3. 处理 τ(s)\tau(s)

3 T! h8 ~$ I& w

我们从Eq. 4可以知道 ()τ(s)=(kb+dgls)△(s)\tau(s)=(k_{b}+d_{gl}s)\triangle(s) ,将其代入Eq. 11的等号左边,我们得到Eq. 12:

% q7 D% o2 z; N; t

τ(s)=−[Is2+dMs]ql(s)+[C(s)+λ(s)]τ∗(s)−(Is2+dMs+kbC(s))△(s);\tau(s)=-[Is^{2}+d_{M}s]q_{l}(s)+[C(s)+\lambda(s)]\tau^{\ast}(s)-(Is^{2}+d_{M}s+k_{b}C(s))\triangle(s);

& J. v; X4 D, w) Y: F' _. _& `

4. 整理

, c6 _" g" ]/ k: [% Y O

将Eq. 12整理如下得到Eq. 13:

% l. v, d5 z$ M( e, i0 D4 ^$ _/ \

τ(s)=(kb+dgls)[△τ∗(s)τ∗(s)+△ql(s)ql(s)];where△τ∗(s)=△(s)τ∗(s)=Kds+Kp+λ(s)Is2+D△s+K△;△ql(s)=△(s)ql(s)=−(Is2+dMs)Is2+D△s+K△;andD△=kbKd+dM+dgl;K△=kb(Kp+1);\tau(s)=(k_{b}+d_{gl}s)[\triangle_{\tau^{\ast}}(s)\tau^{\ast}(s)+\triangle_{ql}(s)q_{l}(s)]; \\where \\\triangle_{\tau^{\ast}}(s) = \frac{\triangle(s)}{\tau^{\ast}(s)}= \frac{K_{d}s+K_{p}+\lambda(s)}{Is^{2}+D_{\triangle}s+K_{\triangle}}; \\\triangle_{ql}(s)=\frac{\triangle(s)}{q_{l}(s)}=\frac{-(Is^{2}+d_{M}s)}{Is^{2}+D_{\triangle}s+K_{\triangle}}; \\and \\D_{\triangle}=k_{b}K_{d}+d_{M}+d_{gl}; \\K_{\triangle}=k_{b}(K_{p}+1);

# n+ ~) ~- _' [' z- ]8 I

Eq. 13算是SEA的力矩求导下,通过拉普拉斯变换结论性的公式,如果不需要知道相应的推导过程,可以直接拿去使用。其对于分析SEA驱动器的力控性能至关重要——包括透明度(Transparency)和力矩追踪能力(Torque Tracking).

3 [3 e) {) |/ P+ ^

(所有的公式都是我在知乎网页上Latex一个一个敲出来的,不保证全部正确。如果真的有小伙伴能够看完所有公式,给我纠正出错误,我非常开心和感激!)

% [. t& \5 n9 e

对于SEA驱动器硬件结构不是很了解的小伙伴,附上我以前写过的介绍链接:

, ?# P( D0 |; ?+ n) T9 S

一种带力矩、位置传感器的紧凑人型机器人SEA驱动器(带谐波减速器)机械设计方案

+ E% y! _0 u- V7 e# g$ T; M# h

Strain Gauge or Encoder Based? 关于SEA力矩测量原理选择的浅谈

# ^$ X3 O7 w$ o/ t

参考文献:

Roozing, Wesley, Jörn Malzahn, Navvab Kashiri, Darwin G. Caldwell, and Nikos G. Tsagarakis. "On the Stiffness Selection for Torque-Controlled Series-Elastic Actuators." IEEE Robotics and Automation Letters 2, no. 4 (2017): 2255-2262.Pratt, Gill A., and Matthew M. Williamson. "Series elastic actuators." In Intelligent Robots and Systems 95.Human Robot Interaction and Cooperative Robots, Proceedings. 1995 IEEE/RSJ International Conference on, vol. 1, pp. 399-406. IEEE, 1995. 7 h" q: a& u2 ^, l2 M% L ' B3 q1 T# P# x! S ; q! j u }5 M5 J8 u$ O; q & }# J% Y! b7 S* S3 h# X4 J6 z " x. m u9 \1 I5 W& ]; {& C+ g7 P
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瓦他若
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