海洋动力学 -海洋动力学 引擎

这篇文章介绍一下SEA驱动器中：

线性动力学模型及其简化（Linear Dynamics Model and its Simplification）;力矩求导（Torque Derivation）

这两块的内容是后续分析SEA弹性体刚度选择（Stiffness Selection）和相关SEA力矩控制（Torque Control）响应及性能的基础。因为SEA已经出现了将近20年，所以线性动力学模型和相关力矩求导都是经典内容——Nothing Special.

1 K0 U/ L% [/ ~4 V

我希望通过我的解释，能够让之前没有了解过SEA的伙伴们快速入门。

阅读提示（线性动力学模型Eq. 7，Eq. 8重要，力矩求导Eq. 13重要，结论性公式）

; n" z! g. M) N# J( E

线性动力学模型：

: p% R1 R. l |# ]

上图展示了SEA驱动器的实际物理结构（左图），我着重圈出了三个方块：

红色方块: 电机转子（Motor Rotor）绿色方块：减速箱（Gearbox）蓝色方块：输出端（Load）其中减速箱端与输出端串联关键的弹性体

对应的物理模型如上右图所示：红色（Motor）---绿色（Gearbox）---输出端（Load）

2 I' |& D _% A3 m6 Z

其中：

Im:I_{m}: 电机转子惯量； Ig:I_{g}: 齿轮箱惯量； Il:I_{l}: 输出端惯量；

kg,dmg:k_{g}, d_{mg}: 齿轮箱端与电机端之间的刚度与阻尼；

" w* c$ K; O9 O, B

kb,dgl:k_{b}, d_{gl}: 输出端与齿轮箱端之间的刚度与阻尼；

2 P5 @% K" _1 M* L, [ y9 j

qm,qg,ql:q_{m}, q_{g}, q_{l}: 电机端，齿轮箱端，输出端绝对位置；

τm,τe:\tau_{m}, \tau_{e}: 电机端输出扭矩（电机线圈产生），输出端扭矩（与外部环境交互产生）；

dm,dg,dl:d_{m}, d_{g}, d_{l}: 电机、齿轮箱与输出端与驱动器外壳间的粘滞阻尼；

△=qg−ql:\triangle=q_{g}-q_{l}: 输出端与齿轮箱端绝对位置偏角（重要参数）

线性动力学的模型的核心其实就是各个模块上的扭矩平衡，如下：

) t0 O7 e7 s6 r! z4 O

电机端扭矩平衡Eq. 1：

, N, e0 y& z" b3 S

Imqm¨=τm−dmqm˙+dmg(qg˙−qm˙)+kg(qg−qm)I_{m}\ddot{q_{m}}=\tau_{m}-d_{m}\dot{q_{m}}+d_{mg}(\dot{q_{g}}-\dot{q_{m}})+k_{g}(q_{g}-q_{m}) ;

5 W/ ~/ V/ M7 ]" y. |

齿轮箱端扭矩平衡Eq. 2：

Igqg¨=−dgqg˙−dmg(qg˙−qm˙)−kg(qg−qm)+dgl(ql˙−qg˙)+kb(ql−qg)I_{g}\ddot{q_{g}}=-d_{g}\dot{q_{g}}-d_{mg}(\dot{q_{g}}-\dot{q_{m}})-k_{g}(q_{g}-q_{m})+d_{gl}(\dot{q_{l}}-\dot{q_{g}})+k_{b}(q_{l}-q_{g}) ;

- F8 c Q. q S L) p; D9 I

输出端扭矩平衡Eq. 3：

+ m1 b. x3 \) ]. t

Ilql¨=τe−dlql˙−dgl(ql˙−qg˙)−kb(ql−qg)I_{l}\ddot{q_{l}}=\tau_{e}-d_{l}\dot{q_{l}}-d_{gl}(\dot{q_{l}}-\dot{q_{g}})-k_{b}(q_{l}-q_{g}) ;

这里还需要提及到的是在Eq. 3中的最后两项可以写成如下的形式Eq. 4 (重要！)：

: G* E @' R M# q& q$ Q9 p" a

−dgl(ql˙−qg˙)−kb(ql−qg)=kb△+dgl△˙=τ;-d_{gl}(\dot{q_{l}}-\dot{q_{g}})-k_{b}(q_{l}-q_{g})=k_{b}\triangle+d_{gl}\dot{\triangle}=\tau;

% M( y2 Y) g9 p- U# O& g( L9 X- f

注意：这里的 τ\tau 是和之前的定义的 τe\tau_{e} 是有区别的， τ\tau 在这里是齿轮箱向输出端传递的力矩。当处于输出平衡状态时，有如下等式Eq. 5：

/ e7 O+ R- f$ P: q4 p

−τe=τ−dlql˙;-\tau_{e}=\tau-d_{l}\dot{q_{l}};

工程经验：即使在输出端环节， ，τ，τe\tau，\tau_{e} 也是相差一个 dlql˙d_{l}\dot{q_{l}} ，这里的dld_{l} 是输出端与驱动器外壳的粘滞系数，与机械设计环节轴孔支撑的公差与装配手艺有重要的关系。

|; j# ~# u/ F5 A

模型简化：

首先对于Eq. 4可以简化为Eq. 6：

τ=kb△+dgl△˙⇒τ≈kb△;\tau=k_{b}\triangle+d_{gl}\dot{\triangle}\Rightarrow \tau\approx k_{b}\triangle;

（一般齿轮箱与输出端的弹性体都是金属材料，其阻尼系数可以忽略不计，即 dgl≈0d_{gl}\approx0 ）

对于大部分SEA驱动器而言，谐波减速器的刚度都远远大于柔性传动元件，因此我们可以将谐波减速器考虑成刚体（Rigid Body）,即：

* {5 x. G7 j/ s4 y

qm≡qg,qm˙≡qg˙,qm¨≡qg¨;q_{m}\equiv q_{g}, \dot{q_{m}}\equiv \dot{q_{g}}, \ddot{q_{m}}\equiv \ddot{q_{g}};

2 _: q1 G. g) B% Z1 {8 i' M

所以对于Eq. 1与Eq. 2我们可以简化成如下Eq. 7 (重要！)：

/ U4 a6 W0 P [! [7 f" \% k

(Im+Ig)qm¨=τm+kb(ql−qm)+dgl(ql˙−qm˙)−(dm+dg)qm˙;(I_{m}+I_{g})\ddot{q_{m}}=\tau_{m}+k_{b}(q_{l}-q_{m})+d_{gl}(\dot{q_{l}}-\dot{q_{m}})-(d_{m}+d_{g})\dot{q_{m}};

对于Eq. 3可以改写成如下Eq. 8：

) z0 b; m8 D: H

Ilql¨=τe−dlql˙−dgl(ql˙−qm˙)−kb(ql−qm);I_{l}\ddot{q_{l}}=\tau_{e}-d_{l}\dot{q_{l}}-d_{gl}(\dot{q_{l}}-\dot{q_{m}})-k_{b}(q_{l}-q_{m});

% R- D6 s1 X( H# t( Q" _

力矩求导：

; p5 V: E' l1 x) r; V3 I

这部分内容中通过拉普拉斯变换与一系列数学推导，我们将试图得到在频域下：

输出量 τ(s)\tau(s) 与输入量 τ∗(s),ql(s)\tau^{\ast}(s), q_{l}(s) 之间的关系：

τ(s)\tau(s) ：频域下实际输出扭矩——电机端传递到输出端；

, s* f$ F$ X, [' f! }, b5 Z

τ∗(s)\tau^{\ast}(s) ：频域下目标扭矩；

ql(s)q_{l}(s) ：频域下输出端绝对位置；

. q. F+ ~, q0 p

以上即为处理公式Eq. 7的数学目标。

) ^! B) X' r) j/ z4 @

1. 处理 qm(s)q_{m}(s)

首先，对线性动力学模型得到的Eq. 7进行拉普拉斯变换，并代入 qm(s)−ql(s):=△(s)q_{m}(s)-q_{l}(s):=\triangle(s) 进行改写，我们得到Eq. 9：

[Is2+(dM+dgl)s+kb]△(s)=−[Is2+dMs]ql(s)+τm(s);where,I=Im+Ig,dM=dm+dg[Is^{2}+(d_{M}+d_{gl})s+k_{b}]\triangle(s)=-[Is^{2}+d_{M}s]q_{l}(s)+\tau_{m}(s); \\where, I = I_{m}+I_{g}, d_{M}=d_{m}+d_{g}

) q( ?" J7 F7 z; E- X

我们仔细观察Eq. 9, 通过 qm(s)−ql(s):=△(s)q_{m}(s)-q_{l}(s):=\triangle(s) 的代入，我们已经消除了 qm(s)q_{m}(s) 这个电机端的位置变量，下一步要做的就是处理 τm(s)\tau_{m}(s) 这个电机端的输出力矩。

/ q/ U1 h! G6 }1 m f$ S

2. 处理 τm(s)\tau_{m}(s)

. v% `. s3 a6 b" i: N3 {4 U

假设我们使用了一种如下形式的反馈控制器,

C(s)=Kp+Kds;C(s)=K_{p}+K_{d}s;

% N3 g2 s# w8 ?* M; q

这种控制器是用来测量角度偏转 △\triangle , 并且假设前馈控制为 （）λ（s）\lambda（s）,

那么我们得到如下Eq .10：

τm(s)=C(s)(τ∗(s)−τ(s))+λ(s)τ∗(s);where,τ(s)≈kb△(s)\tau_{m}(s)=C(s)(\tau^{\ast}(s)-\tau(s))+\lambda(s)\tau^{\ast}(s); \\where, \tau(s)\approx k_{b}\triangle(s)

将Eq .10代入Eq. 9, 我们将得到Eq. 11：

[Is2+(dM+dgl)s+kb(1+C(s))]△(s)=−[Is2+dMs]ql(s)+[C(s)+λ(s)]τ∗(s);[Is^{2}+(d_{M}+d_{gl})s+k_{b}(1+C(s))]\triangle(s)=-[Is^{2}+d_{M}s]q_{l}(s)+[C(s)+\lambda(s)]\tau^{\ast}(s);

这里，我们看到Eq. 11中，我们要的 τ∗(s),ql(s)\tau^{\ast}(s), q_{l}(s) 都已经在等号右边出现。

1 i4 X" w7 w7 r& t/ A( f2 D

3. 处理 τ(s)\tau(s)

我们从Eq. 4可以知道 （）τ(s)=（kb+dgls）△(s)\tau(s)=（k_{b}+d_{gl}s）\triangle(s) ，将其代入Eq. 11的等号左边，我们得到Eq. 12：

9 W9 J' P% L. ?& \: N$ P& {/ I0 k: x; U

τ(s)=−[Is2+dMs]ql(s)+[C(s)+λ(s)]τ∗(s)−(Is2+dMs+kbC(s))△(s);\tau(s)=-[Is^{2}+d_{M}s]q_{l}(s)+[C(s)+\lambda(s)]\tau^{\ast}(s)-(Is^{2}+d_{M}s+k_{b}C(s))\triangle(s);

+ }8 L( S: c2 E/ b! ^9 D6 t

4. 整理

将Eq. 12整理如下得到Eq. 13：

τ(s)=(kb+dgls)[△τ∗(s)τ∗(s)+△ql(s)ql(s)];where△τ∗(s)=△(s)τ∗(s)=Kds+Kp+λ(s)Is2+D△s+K△;△ql(s)=△(s)ql(s)=−(Is2+dMs)Is2+D△s+K△;andD△=kbKd+dM+dgl;K△=kb(Kp+1);\tau(s)=(k_{b}+d_{gl}s)[\triangle_{\tau^{\ast}}(s)\tau^{\ast}(s)+\triangle_{ql}(s)q_{l}(s)]; \\where \\\triangle_{\tau^{\ast}}(s) = \frac{\triangle(s)}{\tau^{\ast}(s)}= \frac{K_{d}s+K_{p}+\lambda(s)}{Is^{2}+D_{\triangle}s+K_{\triangle}}; \\\triangle_{ql}(s)=\frac{\triangle(s)}{q_{l}(s)}=\frac{-(Is^{2}+d_{M}s)}{Is^{2}+D_{\triangle}s+K_{\triangle}}; \\and \\D_{\triangle}=k_{b}K_{d}+d_{M}+d_{gl}; \\K_{\triangle}=k_{b}(K_{p}+1);

Eq. 13算是SEA的力矩求导下，通过拉普拉斯变换结论性的公式，如果不需要知道相应的推导过程，可以直接拿去使用。其对于分析SEA驱动器的力控性能至关重要——包括透明度（Transparency）和力矩追踪能力（Torque Tracking）.

7 P' T0 c& l5 j! N* @9 }" @

（所有的公式都是我在知乎网页上Latex一个一个敲出来的，不保证全部正确。如果真的有小伙伴能够看完所有公式，给我纠正出错误，我非常开心和感激！）

) x4 i! u8 H4 n Q

对于SEA驱动器硬件结构不是很了解的小伙伴，附上我以前写过的介绍链接：

/ z# y9 C ?/ r9 O* J1 j6 l

一种带力矩、位置传感器的紧凑人型机器人SEA驱动器（带谐波减速器）机械设计方案

" U# N5 M6 }5 ^# D

Strain Gauge or Encoder Based? 关于SEA力矩测量原理选择的浅谈

参考文献：

Roozing, Wesley, Jörn Malzahn, Navvab Kashiri, Darwin G. Caldwell, and Nikos G. Tsagarakis. "On the Stiffness Selection for Torque-Controlled Series-Elastic Actuators." IEEE Robotics and Automation Letters 2, no. 4 (2017): 2255-2262.Pratt, Gill A., and Matthew M. Williamson. "Series elastic actuators." In Intelligent Robots and Systems 95.Human Robot Interaction and Cooperative Robots, Proceedings. 1995 IEEE/RSJ International Conference on, vol. 1, pp. 399-406. IEEE, 1995. 2 s# n. z9 V8 i$ _4 x ! ?+ D- f2 p6 a6 o/ m ^