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海洋动力学 -海洋动力学 引擎

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0 U& h3 I* s% x# m

这篇文章介绍一下SEA驱动器中:

线性动力学模型及其简化(Linear Dynamics Model and its Simplification);力矩求导(Torque Derivation)

这两块的内容是后续分析SEA弹性体刚度选择(Stiffness Selection)和相关SEA力矩控制(Torque Control)响应及性能的基础。因为SEA已经出现了将近20年,所以线性动力学模型和相关力矩求导都是经典内容——Nothing Special.

/ C% S) D, y* R

我希望通过我的解释,能够让之前没有了解过SEA的伙伴们快速入门。

, D6 r' P5 ^ _+ m C3 w

阅读提示(线性动力学模型Eq. 7,Eq. 8重要,力矩求导Eq. 13重要,结论性公式)

% l# ?4 U( N) M- X9 d

线性动力学模型:

- {9 i3 W4 K, D# P
9 s1 c5 N$ L/ s& v- Y7 M

上图展示了SEA驱动器的实际物理结构(左图),我着重圈出了三个方块:

红色方块: 电机转子(Motor Rotor)绿色方块:减速箱(Gearbox)蓝色方块:输出端(Load)其中减速箱端与输出端串联关键的弹性体

对应的物理模型如上右图所示:红色(Motor)---绿色(Gearbox)---输出端(Load)

2 ]- e \" q0 w4 Y* L1 h

其中:

: Q& N1 f' o% F+ u6 }. ?! n; ^

Im:I_{m}: 电机转子惯量; Ig:I_{g}: 齿轮箱惯量; Il:I_{l}: 输出端惯量;

% a! b4 Z: D8 A4 N, b4 t

kg,dmg:k_{g}, d_{mg}: 齿轮箱端与电机端之间的刚度与阻尼;

+ f% H0 x" X% J" w. Q

kb,dgl:k_{b}, d_{gl}: 输出端与齿轮箱端之间的刚度与阻尼;

$ H" N2 T* |% z

qm,qg,ql:q_{m}, q_{g}, q_{l}: 电机端,齿轮箱端,输出端绝对位置;

6 g* p! u: }: }" w: P

τm,τe:\tau_{m}, \tau_{e}: 电机端输出扭矩(电机线圈产生),输出端扭矩(与外部环境交互产生);

& Q: Z4 X& X2 j9 Z9 K$ ]4 X" ]' Z

dm,dg,dl:d_{m}, d_{g}, d_{l}: 电机、齿轮箱与输出端与驱动器外壳间的粘滞阻尼;

# k$ R4 m5 u5 C' C# p

△=qg−ql:\triangle=q_{g}-q_{l}: 输出端与齿轮箱端绝对位置偏角(重要参数)

$ R) X+ D# }; `( {; B4 Z

线性动力学的模型的核心其实就是各个模块上的扭矩平衡,如下:

) y) V2 c2 O* ~) P

电机端扭矩平衡Eq. 1:

4 ^# W% l& _4 P+ z0 @; s8 x3 O

Imqm¨=τm−dmqm˙+dmg(qg˙−qm˙)+kg(qg−qm)I_{m}\ddot{q_{m}}=\tau_{m}-d_{m}\dot{q_{m}}+d_{mg}(\dot{q_{g}}-\dot{q_{m}})+k_{g}(q_{g}-q_{m}) ;

4 `/ I1 s7 |+ e* B2 p

齿轮箱端扭矩平衡Eq. 2:

, q) J/ |& L. @1 u( A" g* n

Igqg¨=−dgqg˙−dmg(qg˙−qm˙)−kg(qg−qm)+dgl(ql˙−qg˙)+kb(ql−qg)I_{g}\ddot{q_{g}}=-d_{g}\dot{q_{g}}-d_{mg}(\dot{q_{g}}-\dot{q_{m}})-k_{g}(q_{g}-q_{m})+d_{gl}(\dot{q_{l}}-\dot{q_{g}})+k_{b}(q_{l}-q_{g}) ;

$ Y) H1 J) z* X! j' l

输出端扭矩平衡Eq. 3:

5 V1 e2 g* j( w. h

Ilql¨=τe−dlql˙−dgl(ql˙−qg˙)−kb(ql−qg)I_{l}\ddot{q_{l}}=\tau_{e}-d_{l}\dot{q_{l}}-d_{gl}(\dot{q_{l}}-\dot{q_{g}})-k_{b}(q_{l}-q_{g}) ;

7 N- u |1 ?) u5 C2 L- j

这里还需要提及到的是在Eq. 3中的最后两项可以写成如下的形式Eq. 4 (重要!):

5 F' r% Y$ S" M9 _ N# C* N9 D

−dgl(ql˙−qg˙)−kb(ql−qg)=kb△+dgl△˙=τ;-d_{gl}(\dot{q_{l}}-\dot{q_{g}})-k_{b}(q_{l}-q_{g})=k_{b}\triangle+d_{gl}\dot{\triangle}=\tau;

" Q& E/ V, _# v1 F' a& u4 X

注意:这里的 τ\tau 是和之前的定义的 τe\tau_{e} 是有区别的, τ\tau 在这里是齿轮箱向输出端传递的力矩。当处于输出平衡状态时,有如下等式Eq. 5:

: w, k- a( }9 j. s$ m( b' t% E7 C

−τe=τ−dlql˙;-\tau_{e}=\tau-d_{l}\dot{q_{l}};

* H8 x" H3 [% r1 Y

工程经验:即使在输出端环节, τ,τe\tau,\tau_{e} 也是相差一个 dlql˙d_{l}\dot{q_{l}} ,这里的dld_{l} 是输出端与驱动器外壳的粘滞系数,与机械设计环节轴孔支撑的公差与装配手艺有重要的关系。

! u f9 O! p! }* _% T; y3 G

模型简化:

+ C- C4 K: X X" j6 |8 m. }

首先对于Eq. 4可以简化为Eq. 6:

k% S; D: D, U

τ=kb△+dgl△˙⇒τ≈kb△;\tau=k_{b}\triangle+d_{gl}\dot{\triangle}\Rightarrow \tau\approx k_{b}\triangle;

[/ m+ ]" h# k W

(一般齿轮箱与输出端的弹性体都是金属材料,其阻尼系数可以忽略不计,即 dgl≈0d_{gl}\approx0

6 r/ U( O h) X

对于大部分SEA驱动器而言,谐波减速器的刚度都远远大于柔性传动元件,因此我们可以将谐波减速器考虑成刚体(Rigid Body),即:

- p# Q1 H T/ c

qm≡qg,qm˙≡qg˙,qm¨≡qg¨;q_{m}\equiv q_{g}, \dot{q_{m}}\equiv \dot{q_{g}}, \ddot{q_{m}}\equiv \ddot{q_{g}};

6 S* U; W2 F+ a3 M; a

所以对于Eq. 1与Eq. 2我们可以简化成如下Eq. 7 (重要!):

. I1 w' h# L* A- _% J6 D$ D9 u- @

(Im+Ig)qm¨=τm+kb(ql−qm)+dgl(ql˙−qm˙)−(dm+dg)qm˙;(I_{m}+I_{g})\ddot{q_{m}}=\tau_{m}+k_{b}(q_{l}-q_{m})+d_{gl}(\dot{q_{l}}-\dot{q_{m}})-(d_{m}+d_{g})\dot{q_{m}};

% i% O4 m* p; }3 P; W- g

对于Eq. 3可以改写成如下Eq. 8:

7 p% |" t0 `* G2 K

Ilql¨=τe−dlql˙−dgl(ql˙−qm˙)−kb(ql−qm);I_{l}\ddot{q_{l}}=\tau_{e}-d_{l}\dot{q_{l}}-d_{gl}(\dot{q_{l}}-\dot{q_{m}})-k_{b}(q_{l}-q_{m});

. d P7 p! P% }) |0 D7 |- ^6 G( c

力矩求导:

9 C# N y3 P9 T/ h$ k& ^; N

这部分内容中通过拉普拉斯变换与一系列数学推导,我们将试图得到在频域下:

+ b# F8 i" M' y. ?; u$ o" G$ A

输出量 τ(s)\tau(s) 与输入量 τ∗(s),ql(s)\tau^{\ast}(s), q_{l}(s) 之间的关系:

) i3 {: J* b2 Y0 m$ h

τ(s)\tau(s) :频域下实际输出扭矩——电机端传递到输出端;

j+ R7 ~ v/ G% T' ?1 ]% T1 |

τ∗(s)\tau^{\ast}(s) :频域下目标扭矩;

: a8 l( c* S1 R5 r" K8 e$ \6 n2 I

ql(s)q_{l}(s) :频域下输出端绝对位置;

1 M" ^# p& S+ u3 x' w8 F7 {/ ^4 s

以上即为处理公式Eq. 7的数学目标。

* C9 b! x- A/ s# ]$ J

1. 处理 qm(s)q_{m}(s)

, x& W, ]5 k @# D' J6 C

首先,对线性动力学模型得到的Eq. 7进行拉普拉斯变换,并代入 qm(s)−ql(s):=△(s)q_{m}(s)-q_{l}(s):=\triangle(s) 进行改写,我们得到Eq. 9:

8 E9 W( @$ ^4 n7 t. a

[Is2+(dM+dgl)s+kb]△(s)=−[Is2+dMs]ql(s)+τm(s);where,I=Im+Ig,dM=dm+dg[Is^{2}+(d_{M}+d_{gl})s+k_{b}]\triangle(s)=-[Is^{2}+d_{M}s]q_{l}(s)+\tau_{m}(s); \\where, I = I_{m}+I_{g}, d_{M}=d_{m}+d_{g}

# W* A+ e+ g# |

我们仔细观察Eq. 9, 通过 qm(s)−ql(s):=△(s)q_{m}(s)-q_{l}(s):=\triangle(s) 的代入,我们已经消除了 qm(s)q_{m}(s) 这个电机端的位置变量,下一步要做的就是处理 τm(s)\tau_{m}(s) 这个电机端的输出力矩。

7 D* s/ n/ u- a/ j, r/ t0 j

2. 处理 τm(s)\tau_{m}(s)

T J& f$ }4 R8 m: G4 ]9 A: k

假设我们使用了一种如下形式的反馈控制器,

" T5 F! B8 z; Z" O! q7 y

C(s)=Kp+Kds;C(s)=K_{p}+K_{d}s;

. |% n |* O7 \$ ^1 u& e1 T

这种控制器是用来测量角度偏转 \triangle , 并且假设前馈控制为 ()λ(s)\lambda(s),

7 | G/ t$ z% U) E K9 C, ]- W

那么我们得到如下Eq .10:

! V- R; _7 i, j5 U

τm(s)=C(s)(τ∗(s)−τ(s))+λ(s)τ∗(s);where,τ(s)≈kb△(s)\tau_{m}(s)=C(s)(\tau^{\ast}(s)-\tau(s))+\lambda(s)\tau^{\ast}(s); \\where, \tau(s)\approx k_{b}\triangle(s)

- f6 i; D# I& T. V" A& H

将Eq .10代入Eq. 9, 我们将得到Eq. 11:

6 ^& Y! M7 W. c2 i2 ^# W4 {* ?

[Is2+(dM+dgl)s+kb(1+C(s))]△(s)=−[Is2+dMs]ql(s)+[C(s)+λ(s)]τ∗(s);[Is^{2}+(d_{M}+d_{gl})s+k_{b}(1+C(s))]\triangle(s)=-[Is^{2}+d_{M}s]q_{l}(s)+[C(s)+\lambda(s)]\tau^{\ast}(s);

8 M2 }# m7 V) L7 p) B+ r$ Y& I

这里,我们看到Eq. 11中,我们要的 τ∗(s),ql(s)\tau^{\ast}(s), q_{l}(s) 都已经在等号右边出现。

1 c0 U0 n6 W) S

3. 处理 τ(s)\tau(s)

/ Q" }2 T% P7 V' k( m) n

我们从Eq. 4可以知道 ()τ(s)=(kb+dgls)△(s)\tau(s)=(k_{b}+d_{gl}s)\triangle(s) ,将其代入Eq. 11的等号左边,我们得到Eq. 12:

1 ^% S# U) Q6 k/ P8 U0 X

τ(s)=−[Is2+dMs]ql(s)+[C(s)+λ(s)]τ∗(s)−(Is2+dMs+kbC(s))△(s);\tau(s)=-[Is^{2}+d_{M}s]q_{l}(s)+[C(s)+\lambda(s)]\tau^{\ast}(s)-(Is^{2}+d_{M}s+k_{b}C(s))\triangle(s);

4 l1 \7 R ?) a) ?- s

4. 整理

% \. ^7 I/ _3 {: @. }

将Eq. 12整理如下得到Eq. 13:

' B4 E, `* k( [( U5 r+ b" Q4 }* t

τ(s)=(kb+dgls)[△τ∗(s)τ∗(s)+△ql(s)ql(s)];where△τ∗(s)=△(s)τ∗(s)=Kds+Kp+λ(s)Is2+D△s+K△;△ql(s)=△(s)ql(s)=−(Is2+dMs)Is2+D△s+K△;andD△=kbKd+dM+dgl;K△=kb(Kp+1);\tau(s)=(k_{b}+d_{gl}s)[\triangle_{\tau^{\ast}}(s)\tau^{\ast}(s)+\triangle_{ql}(s)q_{l}(s)]; \\where \\\triangle_{\tau^{\ast}}(s) = \frac{\triangle(s)}{\tau^{\ast}(s)}= \frac{K_{d}s+K_{p}+\lambda(s)}{Is^{2}+D_{\triangle}s+K_{\triangle}}; \\\triangle_{ql}(s)=\frac{\triangle(s)}{q_{l}(s)}=\frac{-(Is^{2}+d_{M}s)}{Is^{2}+D_{\triangle}s+K_{\triangle}}; \\and \\D_{\triangle}=k_{b}K_{d}+d_{M}+d_{gl}; \\K_{\triangle}=k_{b}(K_{p}+1);

8 D! D! k( j( S

Eq. 13算是SEA的力矩求导下,通过拉普拉斯变换结论性的公式,如果不需要知道相应的推导过程,可以直接拿去使用。其对于分析SEA驱动器的力控性能至关重要——包括透明度(Transparency)和力矩追踪能力(Torque Tracking).

5 g3 W4 J: E5 O* l! f

(所有的公式都是我在知乎网页上Latex一个一个敲出来的,不保证全部正确。如果真的有小伙伴能够看完所有公式,给我纠正出错误,我非常开心和感激!)

0 H% n" n' h: X, A q# h

对于SEA驱动器硬件结构不是很了解的小伙伴,附上我以前写过的介绍链接:

! o( w" ]( p& R, P+ A

一种带力矩、位置传感器的紧凑人型机器人SEA驱动器(带谐波减速器)机械设计方案

! @: @/ @* s! S* m) u1 | x. d7 Y" y

Strain Gauge or Encoder Based? 关于SEA力矩测量原理选择的浅谈

3 B0 a) Z1 E9 c6 d

参考文献:

Roozing, Wesley, Jörn Malzahn, Navvab Kashiri, Darwin G. Caldwell, and Nikos G. Tsagarakis. "On the Stiffness Selection for Torque-Controlled Series-Elastic Actuators." IEEE Robotics and Automation Letters 2, no. 4 (2017): 2255-2262.Pratt, Gill A., and Matthew M. Williamson. "Series elastic actuators." In Intelligent Robots and Systems 95.Human Robot Interaction and Cooperative Robots, Proceedings. 1995 IEEE/RSJ International Conference on, vol. 1, pp. 399-406. IEEE, 1995.- B8 ^( l' @7 l g 3 j6 }8 @: ~8 f# {( G2 { ( B V' P$ h: k+ t$ N: c( ^& h* r- N. o% V4 y; Y! l ! F# |$ M: K( O' Y! d( K
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瓦他若
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