流函数 是空间中的一个场，用它可以表示平面不可压缩流体的速度：# L$ }# ]7 G4 j. K$ `
2 Z/ \# ?" f& a5 h# p7 X! f9 J2 U+ c7 g1 N) y7 w% C
2 X0 R6 a% Y+ g& F
/ h7 x3 t4 O" i$ v0 `
0 l: p9 j+ O; e( E& ~- I
这样二维平面上的连续方程就能自动满足。
7 P, q# e7 F. F9 K我们的目标是要根据这两个式子求流函数标量场。可以想象，这两个式子规定了场 在 方向和 方向的变化，并不涉及具体的数值。因此，我们需要给定一个流函数的积分零点（求 9 ]6 N7 l) i0 ~
实际就是求积分），我们可以设: ( l$ H& q8 D. F$ s8 C$ S
! h5 S) l1 `8 x' M/ C! ?6 N% l. t' N
" Z H$ H; Q: E; o从这个点积分到任一点 。首先， 对y积分，有：4 ]$ X# }/ r* p- N
$ ?* s, @' x3 S. G1 [4 u" @' Z6 b- C2 M
8 C3 ~# N; v3 _& X6 b
$ Z; o& `4 U# J0 B" n
% l$ a% K2 {: N左边的积分式子，可以直接根据速度场求解，即： " r( i5 R. t. d8 q, j: B
# A6 X( M6 P* P8 v0 D% o* @
现在只需要求出 ，就能求出我们需要的 。通过观察发现，在 中令 即可得到我们想要的结果：
7 F1 r/ r2 m$ q/ G5 x! k1 [, u) s* x- s( H5 A9 i
! \/ A" B' N! ]) z+ e
" |2 @4 r, y% l
最终有：
; O1 {! N, L) `# B
* f3 z+ X8 U9 Z* r( ^
% O; e. `& b! n" M0 }$ H/ _或者可在 中令 代入 ，有：
- \$ y. @* I, }* H4 B9 u& L9 [/ h, s& C& E/ [9 \
3 E$ y) d# l4 A1 N: g: E
: Q* }# E# d0 n) e* v! B这样，利用  . M+ o7 `+ j( t! C$ H% H1 B! W' |" ]4 r
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. r. h+ |, e1 p) X# j+ [值得注意的是，可以对求得的流函数加减常数，以使需要的陆地岸界为0。
n8 V0 d1 E+ B. F
Q" J) ?4 ]* D* A# l+ g/ g) K- W, ^ |
