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[物理海洋] 关于海洋数值模型里面求流函数的过程

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流函数

/ t' w3 [6 D& U                               
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是空间中的一个场,用它可以表示平面不可压缩流体的速度:* ^8 d+ k+ k" ~4 U

, N( D% f8 d6 r5 l3 J7 K  U4 k1 I  F/ I' F' \, [9 L7 R
/ z8 `) v2 v  N8 |& `/ h0 q
                               
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+ y% w3 E" ?( D6 J# b2 ]% m                               
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% l5 n9 [- W) Y0 [* i1 y

) j+ q& f8 a# Y2 c
: H7 v! ~% m7 `! h, R  l) |
                               
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4 {5 ?) n  y- P/ Z                               
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! c( j5 Y6 P+ A4 I8 Z
这样二维平面上的连续方程就能自动满足。
( f( u, ]. \0 u我们的目标是要根据这两个式子求流函数标量场。可以想象,这两个式子规定了场
7 n$ @* l( w7 {
                               
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1 X3 i3 i. q* u- g% Q" R4 p                               
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方向和

" ~; t$ p0 @) v/ z, @4 F                               
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方向的变化,并不涉及具体的数值。因此,我们需要给定一个流函数的积分零点(求
/ w$ V* d! G: M& d$ V( T0 J, ^
                               
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% E& E  ]7 _% S7 `0 Q& r
实际就是求积分),我们可以设:
/ t$ J. u# c7 I* n+ U
6 `5 f4 r' T( [- }8 p; O
2 c% W$ M4 m% P! s. H# ]+ G( c2 s( l
                               
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* W1 ]; U6 r( L$ `
从这个点积分到任一点
( w! v7 S* q0 M& q- p+ @+ d% N& @: Q
                               
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。首先,
, i4 ?) c+ ]# @/ X2 \3 v4 U2 B
                               
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对y积分,有:
: w1 m' U" X4 s9 a( e: A7 F  j3 T2 z3 O- d
- T4 @. [4 I4 w6 E

+ t# ?. x5 M) I0 F! N1 G/ U                               
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4 N" ~9 b# v8 M9 l/ ^# }1 C                               
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, \+ E1 \+ p! @/ S4 T+ x. C$ X                               
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" G( @. H7 n) g0 M' G" V                               
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积分,有:

2 f% s- p  N5 u. _) |3 ]. N. w2 A' T/ t
' Y2 ]. V1 K0 M
2 ~( a6 a6 n, }2 P6 g
                               
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% ]; k* p2 V. g" f: P. z7 U) ?) j  k- b                               
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' d+ H: m9 @  u: D: ^7 |" V5 H
左边的积分式子,可以直接根据速度场求解,即:
1 a' A4 l7 m) [, p
- L9 B# r) R! q& B) u( f; p: ~5 n
                               
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, F% c0 q& f9 P( d+ e8 t/ w% k现在只需要求出

7 w6 ~% F7 f8 s- s                               
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,就能求出我们需要的

. j) }/ z  ^2 h& m; D- T                               
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。通过观察发现,在

/ W0 t# {5 Q, A* W8 t                               
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中令

; U. k  \; M; d; q. t" V; h                               
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即可得到我们想要的结果:- l1 g! u) e1 F- X1 l( {

  j2 [0 @4 F5 J: F5 K3 H" [, m6 P8 p( z" i8 I  @, \

" N3 B8 X0 F# }: Z                               
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8 `8 e. g. F. M3 `$ g( T) Q最终有:/ I* D' j% O3 |

! f9 f/ Y% p1 [
- W, P( q  T0 t3 \2 T  J9 J
                               
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- P( L7 o9 @  M/ b1 i
                               
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8 J) e3 @% U9 ]. F& Z或者可在
7 S2 z5 u9 g+ v/ O9 n, |
                               
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中令

3 Q$ D& R7 p3 P9 e                               
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代入

" |' e$ H4 v$ I: i+ [7 Y, p                               
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,有:
1 E% G, t! n9 {
6 V& [# I9 b6 n- J% o/ j4 C2 y, i' E! j8 C, a3 Z

# x- V. Z$ E9 D6 h! q  h8 j                               
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6 H# _8 m- C% N7 H0 N) Q                               
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9 r& r+ y$ l6 N# W9 c6 b! e这样,利用

3 q# S# r. y7 o  ~                               
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" w6 t3 X! m; W& ~                               
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就可以进行流函数的编程计算。# b, _* B) u: z# S3 `8 P3 v  C
$ q9 M2 ^) x: A  m( U
值得注意的是,可以对求得的流函数加减常数,以使需要的陆地岸界为0。
0 H  E" o: G% F- z  V* H
5 {* M* t& Z% R
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lyl
活跃在2022-11-2
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