流函数 是空间中的一个场，用它可以表示平面不可压缩流体的速度：# ^8 { `1 b' O" k* m( j d! {* J
. f2 G0 w: f& ^& G$ o
' v% ?; `0 t! N1 a/ [3 g7 e
# b' R" H5 K& h V) b0 m! X. J" Y# l$ g E
3 C8 O% b/ h% L" I这样二维平面上的连续方程就能自动满足。" q2 v) }1 h @- q
我们的目标是要根据这两个式子求流函数标量场。可以想象，这两个式子规定了场 在 方向和 方向的变化，并不涉及具体的数值。因此，我们需要给定一个流函数的积分零点（求 ; b C+ U! }; b. J7 Z
实际就是求积分），我们可以设:
, t/ i' X! {2 |9 I: o7 F/ o2 l' F* W# o B' ?$ b" e
9 i; c: F& F' [2 X ~从这个点积分到任一点 。首先， 对y积分，有：5 |, w3 M2 l1 c3 V3 }! ?$ x
4 ^4 Z- e4 v. r, j! [
* o3 m- w* u. B( W
2 ^7 I% A- L' ]$ A3 r3 h, t' |9 \& L) c( _5 [7 p( O
0 n$ \1 p( z6 n2 @
左边的积分式子，可以直接根据速度场求解，即： 0 Z. ^, l% D( Y4 T: n1 }
7 G8 P7 D: J# T& Z+ D
现在只需要求出 ，就能求出我们需要的 。通过观察发现，在 中令 即可得到我们想要的结果：2 ~ a# b% k" p6 a; I2 P
' V/ N9 \3 h* x! Y2 G
: Q# a- @- i: ~/ |, w0 s$ y4 M; g; X3 S( U4 L& E
最终有：4 r& y4 ]8 B/ @9 ~
0 I/ \! N. b' ?) K2 I$ M5 H2 U- a+ f8 R
或者可在 中令 代入 ，有：
, ]" y( w' @" l5 s1 m9 F, B$ g A: E0 }
/ G% k. E* Y* s' x, T _2 W, Z8 a- q. s4 \6 z2 Z9 m2 W
3 h! f1 F% U# j& {0 ~( x这样，利用 和 就可以进行流函数的编程计算。
/ @9 `+ H% L6 e' J& @" n5 H2 [
& Q% o# [9 S4 A; s# k值得注意的是，可以对求得的流函数加减常数，以使需要的陆地岸界为0。
6 L4 k2 R a a' i& ?2 q# _4 D# g5 W
|
