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[物理海洋] 关于海洋数值模型里面求流函数的过程

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流函数
$ B7 @& ]& O; t% t( V, r
                               
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是空间中的一个场,用它可以表示平面不可压缩流体的速度:
* e: }) y: i# N' F3 T: F) }7 D
& l9 y5 `8 K& N9 _: h
; Q+ \4 @, @5 |; u, |

" o' T( a" h+ ~+ V% V                               
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/ \# D5 }0 K  o3 w                               
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% t+ l4 b& s' m- `, Y. e8 ~$ l
* Y+ m) G; W# z: e. l
3 g' L1 u/ ~+ p
                               
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) u' o2 j4 p. x; S1 `
                               
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! e$ u) l1 L4 v* u* C1 d这样二维平面上的连续方程就能自动满足。4 j4 y# u. |1 `8 B! d- J! E7 r
我们的目标是要根据这两个式子求流函数标量场。可以想象,这两个式子规定了场

& a& b' L; }) R, {) D: ?8 A                               
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0 f+ w+ J2 x, c4 V7 T                               
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方向和

6 H# n$ D5 t  s                               
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方向的变化,并不涉及具体的数值。因此,我们需要给定一个流函数的积分零点(求

6 @: X& _8 _( m8 N; D6 H/ j                               
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0 |9 l  f; g) ^: l
实际就是求积分),我们可以设:

; \0 d; f" y& j6 w8 r' |3 E3 t
0 P1 O! C" Y4 [" f8 s8 V2 t# V* X
- u) Q; I' w( E/ o# J
                               
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/ j$ K0 [" r% X从这个点积分到任一点
3 _' i6 }" e/ W0 B
                               
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。首先,
% E/ `* x8 X3 `
                               
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对y积分,有:
0 h/ b1 `* }; r# `$ ^/ ]
$ M" |% Z2 d7 X& a% c. S
, {* u% c3 ~% I

( A9 Q8 ?9 t. Z2 V! L                               
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% t( a  X; G0 C: S# P+ M                               
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1 t: J4 h: m2 m* e2 e
                               
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. a) K! L" L5 i6 W, }1 L5 ]
                               
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积分,有:

- Y0 h6 i' o! u; L  U
5 ^5 Y9 ]: e5 V  E, x9 H
1 @1 S$ \" o2 ?+ k/ f: {/ L  e# ]
                               
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5 k, Z1 T. U0 F: R  M/ C6 {% B
                               
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9 i" q1 E  O% v# {% R5 |" |/ e1 p左边的积分式子,可以直接根据速度场求解,即:
% X$ m! ?! q2 H: S2 \) o# O7 ^# }
$ ^" \% Q3 a% t4 Q1 S% s# b9 ~
                               
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/ G/ C9 D2 P* D( R7 ?现在只需要求出

8 ^+ \  }8 P9 R- g4 I, s                               
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,就能求出我们需要的

  U4 x& @" O% P0 {2 F                               
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。通过观察发现,在
: Y: L6 N- G1 F/ z" N" [5 ?5 C$ J& S
                               
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中令

7 R, U; z# K1 b                               
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即可得到我们想要的结果:
1 t/ Z* g- a1 t, {% D6 b6 ?+ ?3 \3 \
6 m6 M9 a$ q: z; b) J
/ Q" \4 z9 a  k3 G# y  ^

: P: n) J+ U+ a2 q$ ~3 b9 s                               
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4 n6 C+ b: n& K+ l0 u最终有:
. ?, a; r; q+ D7 R8 [- [; S* t* x; I. D
& A: n3 b2 G' b9 \2 W! k
                               
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6 N( _2 W5 s( x' ^# g3 R, e3 y                               
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2 F4 _$ j2 S: D5 q  b: H9 r
或者可在
0 `, Y4 H5 T/ Q" [- l* o. B
                               
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中令
  M- \. q0 h5 w( V% y
                               
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代入

( K9 I" F. r7 n  r: o# X  a; b( L2 l                               
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,有:* @! b: G4 Q# S9 `. m
2 ~( P; N' M# K. r
0 q4 X3 ?3 u7 }3 h5 U9 j) [: ^' H9 I

7 G' x( J/ E- F$ f/ c9 y% g' o1 S, d' K                               
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2 G7 b* v1 Z& ~( D, ~. a+ M& J                               
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8 [3 \8 y& k" u/ R2 p0 s这样,利用

8 s5 r" m- W4 R9 Y                               
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/ N. V9 l7 {1 G3 |1 E- ^                               
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就可以进行流函数的编程计算。( c! p% q/ l" e* v1 u+ h( G

: ^9 x# m  }& L6 `* u( p值得注意的是,可以对求得的流函数加减常数,以使需要的陆地岸界为0。: S+ l9 P# e& {/ c! A7 `
7 ^' A$ N4 z% T, B& z6 q
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lyl
活跃在2022-11-2
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