流函数 是空间中的一个场，用它可以表示平面不可压缩流体的速度：* ^8 d+ k+ k" ~4 U
, N( D% f8 d6 r5 l3 J7 K U4 k1 I F/ I' F' \, [9 L7 R
% l5 n9 [- W) Y0 [* i1 y
) j+ q& f8 a# Y2 c! c( j5 Y6 P+ A4 I8 Z
这样二维平面上的连续方程就能自动满足。
( f( u, ]. \0 u我们的目标是要根据这两个式子求流函数标量场。可以想象，这两个式子规定了场 在 方向和 方向的变化，并不涉及具体的数值。因此，我们需要给定一个流函数的积分零点（求
% E& E ]7 _% S7 `0 Q& r 实际就是求积分），我们可以设: / t$ J. u# c7 I* n+ U
6 `5 f4 r' T( [- }8 p; O
* W1 ]; U6 r( L$ `
从这个点积分到任一点 。首先， 对y积分，有：
: w1 m' U" X4 s9 a( e: A7 F j3 T2 z3 O- d
- T4 @. [4 I4 w6 E
2 f% s- p N5 u. _) |3 ]. N. w2 A' T/ t
' Y2 ]. V1 K0 M' d+ H: m9 @ u: D: ^7 |" V5 H
左边的积分式子，可以直接根据速度场求解，即：
1 a' A4 l7 m) [, p
, F% c0 q& f9 P( d+ e8 t/ w% k现在只需要求出 ，就能求出我们需要的 。通过观察发现，在 中令 即可得到我们想要的结果：- l1 g! u) e1 F- X1 l( {
j2 [0 @4 F5 J: F5 K3 H" [, m6 P8 p( z" i8 I @, \
8 `8 e. g. F. M3 `$ g( T) Q最终有：/ I* D' j% O3 |
! f9 f/ Y% p1 [
8 J) e3 @% U9 ]. F& Z或者可在 中令 代入 ，有：
1 E% G, t! n9 {
6 V& [# I9 b6 n- J% o/ j4 C2 y, i' E! j8 C, a3 Z
9 r& r+ y$ l6 N# W9 c6 b! e这样，利用 和 就可以进行流函数的编程计算。# b, _* B) u: z# S3 `8 P3 v C
$ q9 M2 ^) x: A m( U
值得注意的是，可以对求得的流函数加减常数，以使需要的陆地岸界为0。
0 H E" o: G% F- z V* H
5 {* M* t& Z% R |
