流函数 是空间中的一个场，用它可以表示平面不可压缩流体的速度：+ y3 N8 G+ q0 I4 E1 s4 {# ]
6 R" i# S3 K8 r3 X, f
. w5 T/ d; k8 m% K5 D( P# O* V) R/ V) Z5 C) n4 @4 K: L3 \
V3 H0 z" [) _) w
( ?1 r' N/ A6 p7 t
这样二维平面上的连续方程就能自动满足。
8 i+ M# j5 p. {2 o3 _+ H7 x: t我们的目标是要根据这两个式子求流函数标量场。可以想象，这两个式子规定了场 在 方向和 方向的变化，并不涉及具体的数值。因此，我们需要给定一个流函数的积分零点（求
; G( O9 G- w) s! ~* A" F% b 实际就是求积分），我们可以设: & s: `. ]- N! b$ b" M" Y8 j0 ?. A
8 P( |2 e8 D9 q( j- `- R" `! A, \- I3 e6 w6 _' q6 V
从这个点积分到任一点 。首先， 对y积分，有：
7 D) \# y$ O' ?/ O! E8 L- t% ^/ n% o! I) c1 U. {4 u
4 i+ p8 `! q% r1 D
6 C. P3 c* w8 \# f/ x# ^: A
* q+ v$ r, @# i% A Q
0 k- L, r% N2 _5 v
左边的积分式子，可以直接根据速度场求解，即： ! R+ H: ?& ?' X) B# D! g' N
- k; I" p) d$ C* ^现在只需要求出 ，就能求出我们需要的 。通过观察发现，在 中令 即可得到我们想要的结果：4 `% o) m1 s: N9 U
& K2 M' p9 a; w8 B9 y2 ^4 b5 L) R: G
7 ]/ q+ z5 \' S最终有：
4 L/ H0 F0 l: U2 T1 l \. B4 J0 c/ L/ _, y1 E: @2 i" h: c
r1 L: p! v' x3 J6 r2 c
或者可在 中令 代入 ，有：% Z" L: H5 Q, m+ |9 Z9 ?0 _
: b! M% d- o5 Y+ R' X, M" g
, P" b$ b+ K# p! E" I9 x2 E0 Z% p
4 Y @2 U6 ^; F: x3 @& W5 I" M这样，利用 和 就可以进行流函数的编程计算。
& ?3 W) o% k7 H, [/ X& G
1 J& R/ f- n# H f0 h& ]# d+ [值得注意的是，可以对求得的流函数加减常数，以使需要的陆地岸界为0。) [+ i# E( l r% {; y Q3 h
+ A) w \+ Y% o4 o$ f3 } |
