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`, u( l' ^: R! @$ t& G 地球半径是指从地球中心到其表面(平均海平面)的距离。
" z" j9 \: `" s 地球不是一个规则的物体。首先，它不是正球体，而是椭球体，准确地说是一个两极稍扁，赤道略鼓的扁球体; 其次，地球的南极、北极也不对称，就海平面来说，北极稍凸，南极略凹;第三，地球的外部地形起伏多变(这对测量地球半径是有影响的)。平均大约3959英里(6371.393千米)
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由于地球的自转、内部密度的不均匀以及外部的潮汐力使得地球的形状偏离球形。同时局部的地势增大了这种不均匀性，使得地球的表面状况极度复杂。为了便于处理，对地球表面的描述必须比实际更加简单。因此我们建立一个能够满足需要的地球表面的最简模型。
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所有这些常用的模型都会涉及到“半径”的概念。严格地说，立体图形中只有球体才有半径的概念，但在很多领域，包括处理地球的模型，都会扩展“半径”的用法。以下是按照精确度降序的地球模型：
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地球的真实表面;
& U3 i( n2 E) T9 Y; f 按照真实表面每点的平均海平面定义的大地水准面;
/ A. |- d) O% T0 `& v, R 对于大地水准面和椭球体来说，模型上任何一点到指定中心的确定距离被称为“地球的一条半径”或“在某点地球的半径”。同时也常用球体模型的“平均半径”来作为“地球半径”。另一方面，对应地球真实表面的“半径”是没有实际用处的。相反，相对于海平面的海拔才是有实际用途的。
: s6 b6 m. v3 I5 w2 r" Q$ ^1 F+ P 地球的任何一条半径长度都落在最小的约为6,357km的极半径以及最大的约为6,378km的赤道半径之间。因此地球形状与标准球体的偏差只有约三百分之一，这在大多数情况下可以充分地把地球看做球体并使用术语“地球半径”。这个概念也可以推广到其他主要的行星上去，只不过扁率有差异而已。
5 Z9 j" o2 b7 U! A3 `1 i/ \ 极半径
+ M: C$ o7 x! h% P) K# X. n 从地心到北极或南极的距离，大约3950英里(6356.9088千米)(两极的差极小，可以忽略)。
) |- _& M: v7 j( b' B 赤道半径
) _9 X8 }9 m. N8 B 是从地心到赤道的距离，大约3963英里(6377.830千米)。
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平均半径
: ^) w2 B! r$ ~& b0 X 大约3959英里(6371.393千米) 。这个数字是地心到地球表面所有各点距离的平均值。
2 B( R) k7 p. f& I: i# o 可以这样求：平均半径=(赤道半径×2+极半径)/3
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地球半径有时被使用作为距离单位, 特别是在天文学和地质学中常用。它通常用RE表示。
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地球大概半径6370.856千米。
1 Z: U/ l3 [* m( o; S 我们知道，地球的形状近似一个球形，那么怎样测出它的半径呢?据说公元前三世纪时希腊天文学家厄拉多塞内斯(Eratosthenes，公元前276—194)首次测出了地球的半径。
# s6 p$ \2 Y) o5 e5 R
他发现夏至这一天，当太阳直射到赛伊城(今埃及阿斯旺城)的水井S时，在亚历山大城的一点A的天顶与太阳的夹角为7.2°(天顶就是铅垂线向上无限延长与天空“天球”相交的一点)。他认为这两地在同一条子午线上，从而这两地间的弧所对的圆心角SOA就是7.2°(如图1)。又知商队旅行时测得A、S间的距离约为5000古希腊里，他按照弧长与圆心角的关系，算出了地球的半径约为4000古希腊里。一般认为1古希腊里约为158.5米，那么他测得地球的半径约为6340公里。
; u/ ^) R2 h y
# e% z# x1 N/ _! @0 n0 q9 r% ?
其原理为：
: ]: o' e5 Y) r$ ^8 J
设圆周长为C，半径为R，两地间的的弧长为L，对应的圆心角为n°。
) O' n5 `$ [! H4 \9 |1 W 因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2πR，所以1°的圆心角所对弧长是
. ^& h; V8 y) c9 o, ~" Q8 @& U8 c) E1 |
6 {6 O8 d. e4 k5 D ，即
# [& n# x+ g) ]$ g+ a" |* R3 \ 
; b, Z( ^, M. V, ? 。于是半径为的R的圆中，n°的圆心角所对的弧长L为：
4 Z9 Y; r0 ^: q$ M L2 g 
3 q, J3 C0 x9 z2 P: m 。
5 ` p K: h. D; M. o4 w. a 
5 X( N! x. x7 P# K' O3 A
。
6 N% m- T: h3 c6 P" b 当L=5000古希腊里，n=7.2时，
# g, [3 J9 B9 a- B6 u) k' N
" w2 K: j/ g, c, u7 f+ v. U
古希腊里) 化为公里数为：
& R7 w/ |' E( R: g, g 
* R9 n' ^3 o5 R: ]5 H" f2 k
(公里)。
/ }- v( n, Q+ O" u- n& v% n 厄拉多塞内斯这种测地球的方法常称为弧度测量法。用这种方法测量时，只要测出两地间的弧长和圆心角，就可求出地球的半径了。
, ?# Q3 }3 a8 a4 R: \- U1 o 近代测量地球的半径，还用弧度测量的方法，只是在求相距很远的两地间的距离时，采用了布设三角网的方法。比如求M、N两地的距离时，可以像图2那样布设三角点，用经纬仪测量出△AMB，△ABC，△BCD，△CDE，△EDN的各个内角的度数，再量出M点附近的那条基线MA的长，最后即可算出MN的长度了。
% s; r. ?, Y5 i 
: h# R/ q- A5 f5 Y. a5 J
通过这些三角形，怎样算出MN的长度呢?这里要用到三角形的一个很重要的定理——正弦定理。
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即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。就是说，在△ABC中，有
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0 {/ j Y- o8 y5 t& s. P 。
6 A6 Y" z- V v$ [; I+ c+ V
在图2中，由于各三角形的内角已测出，AM的长也量出，由正弦定理即可分别算出：
% p# ]" H# H: x6 }3 `$ k
! _2 k( o" v8 T# N4 s) I ∴MN=MB+BD+DN。
- A1 g/ W* i& l 如果M、N两地在同一条子午线上，用天文方法测出各地的纬度后，即可算出子午线1°的长度。法国的皮卡尔(Pi-card.J.1620—1682)于1669—1671年率领他的测量队首次测出了巴黎和亚眠之间的子午线的长，求得子午线1°的长约为111.28公里，这样他推算出地球的半径约为6376公里。
; U8 g" ?/ v# f, ?3 C1 d, f 
5 K) |, ^( F/ M$ f6 s+ q& Z6 f) o
(公里)。
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另外，布设三角网有多种方法，要根据实际情况，布设的网点越少越好。
6 m" I4 l/ S$ R w$ x3 k 随着科学的发展，人们对地球的认识也越来越深入，并发现地球不完全是球形的，而是一个椭球体(如图3)。科学家家们还找到了求得地球的长半径a和短半径b的方法，由于比较复杂，我们这里就不介绍了，有兴趣的同学可阅读有关书籍。
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你相信吗，仅仅利用一张日落的照片，你就能得出地球的半径大小! Princeton 大学的 Robert Vanderbei 在最近的一篇论文中对一张摄于密歇根湖的日落照片进行了分析，不但证实了地球是圆的，还依据照片上的内容对地球半径进行了估算。
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: X, F1 N; {4 L+ n( | 事情的起因就是上面这张很平常的日落照片，以及这样一个大家平时并没有太在意的问题：太阳露出水面的部分应该是一个标准的弓形，但为什么在日出日落时，我们所看到的太阳是一个橄榄球一样的形状?大家或许会很快想到，发光体的下半部分其实是日光反射在水面上造成的。随之产生的是另一个问题：为什么它的下半部分要比上半部分小一些呢?
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$ [" h8 \3 F, y3 u+ I. D( i 这是因为——想到这个问题的答案并不容易——地球是圆的。上图就是人站在地球上看日出的一个比例夸张版示意图，其中 O 为地球的中心， A 为人眼的位置， AB 为视平线， B 点为水天交界处。由于太阳距离我们相当遥远，因此我们把太阳光看作是一束理想的平行光线。我们把直接射入人眼的太阳光与 AB 的夹角记为 α ，把经过水面上的一点 C 反射进入人眼的光线与 AB 的夹角记为 β 。从图上可见，视角 β 比 α 小，也就是说太阳在水面上的镜像比本身要小一些。
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3 k: h; m2 K. |9 e+ U+ _ β 究竟比 α 小多少呢?对照片进行精确地测量，可知太阳的直径相当于照片中的 317 个像素，而露出水面的部分高 69 像素，水中的倒影则只有 29 像素。众所周知太阳的视直径(看太阳的视角)为 0.5 度，因此我们就得到 α = 0.5 * 69 / 317 ≈ 0.1088 度， β = 0.5 * 29 / 317 ≈ 0.0457 度。
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如果再已知人眼(或者说相机)离水面的垂直距离 h 为 2 米，那么根据这些数据我们就足以估算出地球的半径了。不妨把 ∠AOB 记为 φ ，把 ∠AOC 记为 θ ，把人眼到水天相接处的距离 AB 记为 D ，把人眼到反射点的距离 AC 记为 d ，入射角和反射角记为 γ ，最后用 r 来表示地球半径，那么此时我们一共有 6 个未知量。为了求解出这 6 个未知数，我们需要寻找 6 个不同的方程。这 6 个方程可以由以下 6 组等量关系得到：
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+ B2 J6 g- a% }8 V1 u/ J- d5 V
1. 四边形 OBAC 的内角和为 360° ，即 (φ - θ) + 90° + β + (180° - γ + 90°) = 360° ， 化简得 方程(1) φ + β = θ + γ
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2. 两条平行线的同旁内角相加为 180° ，即 (α + β) + (180° - 2γ) = 180° ，即 方程(2) α + β = 2γ
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3. 由于 AO = h + r ，同时又有 AO = AD + DO = D·sinφ + r·cosφ ，因此有 方程(3) h + r = D·sinφ + r·cosφ
- Z! D. | O0 \* Q) z4 d9 e3 t 4. BD 既可以等于 D·cosφ ，又可以等于 r·sinφ ，于是有 方程(4) D·cosφ = r·sinφ
3 B0 C0 |' N) h' T, D2 K4 {! z/ B! S
5. 由于 AO = h + r ，同时又有 AO = AE + EO = d·sin(γ+θ) + r·cosθ ，因此有 方程(5) h + r = d·sin(γ+θ) + r·cosθ
8 S, J2 l% O q6 Z8 t+ Y( B3 R* o5 z- u
6. CE 既可以等于 d·cos(γ+θ) ，又可以等于 r·sinθ ，于是有 方程(6) d·cos(γ+θ) = r·sinθ
* J4 l0 ~* N1 w$ t% a: j7 A; B
一系列复杂的代数运算(省略数百字)最终告诉我们：
' P- j( J4 W& X, D; [ r = h / (√1 - 2·cosβ·cosγ + cos2γ / sinβ - 1)
6 z) _3 r& [8 m4 w) t9 N' | 其中 γ = (α + β)/2 。代入已知的 α 、 β 和 h 可以得到，地球半径 r 大约为 7.29312 * 106 米，也即 7293 千米。
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这个估算的误差有多大呢?事实上，地球的半径大约为 6300 多千米，可见误差不是一般的大。不过，考虑到我们估算的依据仅仅是一张照片，能把数量级估对就已经相当牛 B 了。除了测量的精度之外，还有很多潜在的因素会导致误差。目前看来，误差的最主要来源似乎是不完全平静的水面——一点小小的波浪就会给 α 、 β 的值带来巨大的影响。
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8 u7 _! v6 f8 M9 ~) o# N4 V3 ?: P2 `
公元前3 世纪，古希腊天文学家埃拉托色尼首次测量出了地球的半径。他发现夏至这一天，当太阳直射到赛因域(今埃及阿斯旺城附近)的水井时，在亚历山大城的一点的天顶与太阳的夹角为7.2°。他认为这两地在同一条子午线上，从而这两地间的弧所对的圆心角就是7.2°。又知商队旅行时测得两地间的距离约为5000 古希腊里，他按照弧长与圆心角的关系，算出了地球的半径约为40 000 古希腊里。
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他是怎么算的呢?我们不妨跟古希腊人一起来做道数学题：假设圆周长为C，半径为r，两地间的弧长为l，对应的圆心角为θ。因为360°的圆心角所对的弧长是圆周长C=2πr，所以1°的圆心角所对应的弧长长度是2πr / 360，即πr / 180。于是，半径为r 的圆中，圆心角θ所对的弧长l 为：l=θπr / 180。所以，r=180 l / (θπ)。
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当两地距离l 为5000 古希腊里，θ等于7.2 °时， 就算出地球半径r 是180×5000/(7.2×3.141 59 ) ≈ 40 000 古希腊里。曾有人考证，1 古希腊里约为现在的158 米，按这个关系换算，40 000 古希腊里则相当于现在的6300 千米。
$ x; |: l; V- I. f5 \4 H. l 这种测地球的方法常称为弧度测量法。用这种方法测量时，只要测出两地间的弧长和圆心角，就可求出地球的半径了。
) b6 P" ^; N5 q, z6 Q 现代测量地球的半径，还是用弧度测量的方法，法国的皮卡尔于1669—1671 年率领测量队首次测出了巴黎附近子午线1°的长约为111.28千米，从而推算出地球的半径约为6376 千米。
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