【测量地理】地球半径是怎么测量出来的？

- W ^1 H$ Z; R! @8 }5 n) h

* u* ]' V0 k0 C

一直做地理 所以最专业 最强的地理自媒体科普矩阵 地球半径是指从地球中心到其表面(平均海平面)的距离

* w; U+ E8 w, K9 G7 ^0 U7 t. o

) N5 B, {4 F. [, }+ Y0 D4 x2 c: n

一直做地理 所以最专业

& H- l- S) Q4 @5 X/ d7 z! |

最强的地理自媒体科普矩阵

地球半径是指从地球中心到其表面(平均海平面)的距离。

% _( h' x* L7 i

地球不是一个规则的物体。首先，它不是正球体，而是椭球体，准确地说是一个两极稍扁，赤道略鼓的扁球体; 其次，地球的南极、北极也不对称，就海平面来说，北极稍凸，南极略凹;第三，地球的外部地形起伏多变(这对测量地球半径是有影响的)。平均大约3959英里(6371.393千米)

- S3 w3 N& ?) S6 N% m

由于地球的自转、内部密度的不均匀以及外部的潮汐力使得地球的形状偏离球形。同时局部的地势增大了这种不均匀性，使得地球的表面状况极度复杂。为了便于处理，对地球表面的描述必须比实际更加简单。因此我们建立一个能够满足需要的地球表面的最简模型。

所有这些常用的模型都会涉及到“半径”的概念。严格地说，立体图形中只有球体才有半径的概念，但在很多领域，包括处理地球的模型，都会扩展“半径”的用法。以下是按照精确度降序的地球模型：

地球的真实表面;

) F3 {* P0 ~% R$ b

按照真实表面每点的平均海平面定义的大地水准面;

对于大地水准面和椭球体来说，模型上任何一点到指定中心的确定距离被称为“地球的一条半径”或“在某点地球的半径”。同时也常用球体模型的“平均半径”来作为“地球半径”。另一方面，对应地球真实表面的“半径”是没有实际用处的。相反，相对于海平面的海拔才是有实际用途的。

地球的任何一条半径长度都落在最小的约为6,357km的极半径以及最大的约为6,378km的赤道半径之间。因此地球形状与标准球体的偏差只有约三百分之一，这在大多数情况下可以充分地把地球看做球体并使用术语“地球半径”。这个概念也可以推广到其他主要的行星上去，只不过扁率有差异而已。

, J4 ]5 {) [ X* V; E( N3 A

极半径

5 b2 j h- Z4 X" e# p

从地心到北极或南极的距离，大约3950英里(6356.9088千米)(两极的差极小，可以忽略)。

- b$ E( j* d \5 B% S5 m

赤道半径

! x4 I% W9 c6 i% m

是从地心到赤道的距离，大约3963英里(6377.830千米)。

# h- @9 A' y8 i

平均半径

大约3959英里(6371.393千米) 。这个数字是地心到地球表面所有各点距离的平均值。

可以这样求：平均半径=(赤道半径×2+极半径)/3

) J' h0 A& m; K; ?! C7 ]5 J3 _ c# E% ?

地球半径有时被使用作为距离单位, 特别是在天文学和地质学中常用。它通常用RE表示。

7 d) v. @6 T% `8 W0 Z" q

地球大概半径6370.856千米。

我们知道，地球的形状近似一个球形，那么怎样测出它的半径呢?据说公元前三世纪时希腊天文学家厄拉多塞内斯(Eratosthenes，公元前276—194)首次测出了地球的半径。

他发现夏至这一天，当太阳直射到赛伊城(今埃及阿斯旺城)的水井S时，在亚历山大城的一点A的天顶与太阳的夹角为7.2°(天顶就是铅垂线向上无限延长与天空“天球”相交的一点)。他认为这两地在同一条子午线上，从而这两地间的弧所对的圆心角SOA就是7.2°(如图1)。又知商队旅行时测得A、S间的距离约为5000古希腊里，他按照弧长与圆心角的关系，算出了地球的半径约为4000古希腊里。一般认为1古希腊里约为158.5米，那么他测得地球的半径约为6340公里。

其原理为：

6 l9 R. J o" V4 ^- ?

设圆周长为C，半径为R，两地间的的弧长为L，对应的圆心角为n°。

9 s* ?& v+ M# S! ]$ K

因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2πR，所以1°的圆心角所对弧长是

) m! T3 ^. f5 E0 U

，即

" I) `* Q8 N5 u& V( f

! x) Y' e. l* @$ `- b

。于是半径为的R的圆中，n°的圆心角所对的弧长L为：

6 I f* o J. f

。

% z$ u/ @3 d. Q* E# {& ]* b2 |

。

* `/ r y7 l0 m# U: r/ n8 U

当L=5000古希腊里，n=7.2时，

2 E5 o u* ^, l$ h8 b

古希腊里) 化为公里数为：

p0 H9 k0 i- ] M) E1 q

$ @- o) P6 G6 A4 C' q# H/ b

(公里)。

厄拉多塞内斯这种测地球的方法常称为弧度测量法。用这种方法测量时，只要测出两地间的弧长和圆心角，就可求出地球的半径了。

近代测量地球的半径，还用弧度测量的方法，只是在求相距很远的两地间的距离时，采用了布设三角网的方法。比如求M、N两地的距离时，可以像图2那样布设三角点，用经纬仪测量出△AMB，△ABC，△BCD，△CDE，△EDN的各个内角的度数，再量出M点附近的那条基线MA的长，最后即可算出MN的长度了。

通过这些三角形，怎样算出MN的长度呢?这里要用到三角形的一个很重要的定理——正弦定理。

1 U' U. `6 L/ p- p2 ~9 c' c5 [

即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。就是说，在△ABC中，有

, K( O5 u4 C3 k8 g! P2 H! Z8 w

。

% y# m& V& P2 h! n

在图2中，由于各三角形的内角已测出，AM的长也量出，由正弦定理即可分别算出：

! u. }: K$ e; y

/ f0 b# k2 ~* Q, H2 ?' R- F2 g

∴MN=MB+BD+DN。

& c$ q4 Q( O; o; z/ Z

如果M、N两地在同一条子午线上，用天文方法测出各地的纬度后，即可算出子午线1°的长度。法国的皮卡尔(Pi-card.J.1620—1682)于1669—1671年率领他的测量队首次测出了巴黎和亚眠之间的子午线的长，求得子午线1°的长约为111.28公里，这样他推算出地球的半径约为6376公里。

& s) `3 ], F0 q5 G# q9 J4 W( y

(公里)。

2 u/ s9 e E1 a+ k/ `; S1 I

另外，布设三角网有多种方法，要根据实际情况，布设的网点越少越好。

随着科学的发展，人们对地球的认识也越来越深入，并发现地球不完全是球形的，而是一个椭球体(如图3)。科学家家们还找到了求得地球的长半径a和短半径b的方法，由于比较复杂，我们这里就不介绍了，有兴趣的同学可阅读有关书籍。

你相信吗，仅仅利用一张日落的照片，你就能得出地球的半径大小! Princeton 大学的 Robert Vanderbei 在最近的一篇论文中对一张摄于密歇根湖的日落照片进行了分析，不但证实了地球是圆的，还依据照片上的内容对地球半径进行了估算。

2 d$ ]. }7 M, d. ?0 c& j* c

事情的起因就是上面这张很平常的日落照片，以及这样一个大家平时并没有太在意的问题：太阳露出水面的部分应该是一个标准的弓形，但为什么在日出日落时，我们所看到的太阳是一个橄榄球一样的形状?大家或许会很快想到，发光体的下半部分其实是日光反射在水面上造成的。随之产生的是另一个问题：为什么它的下半部分要比上半部分小一些呢?

这是因为——想到这个问题的答案并不容易——地球是圆的。上图就是人站在地球上看日出的一个比例夸张版示意图，其中 O 为地球的中心， A 为人眼的位置， AB 为视平线， B 点为水天交界处。由于太阳距离我们相当遥远，因此我们把太阳光看作是一束理想的平行光线。我们把直接射入人眼的太阳光与 AB 的夹角记为 α ，把经过水面上的一点 C 反射进入人眼的光线与 AB 的夹角记为 β 。从图上可见，视角 β 比 α 小，也就是说太阳在水面上的镜像比本身要小一些。

! ?9 S1 ~* D9 H/ ?) B; W/ r* L

β 究竟比 α 小多少呢?对照片进行精确地测量，可知太阳的直径相当于照片中的 317 个像素，而露出水面的部分高 69 像素，水中的倒影则只有 29 像素。众所周知太阳的视直径(看太阳的视角)为 0.5 度，因此我们就得到 α = 0.5 * 69 / 317 ≈ 0.1088 度， β = 0.5 * 29 / 317 ≈ 0.0457 度。

6 M; K5 e" a; v9 f. h, x. ?5 h

如果再已知人眼(或者说相机)离水面的垂直距离 h 为 2 米，那么根据这些数据我们就足以估算出地球的半径了。不妨把 ∠AOB 记为 φ ，把 ∠AOC 记为 θ ，把人眼到水天相接处的距离 AB 记为 D ，把人眼到反射点的距离 AC 记为 d ，入射角和反射角记为 γ ，最后用 r 来表示地球半径，那么此时我们一共有 6 个未知量。为了求解出这 6 个未知数，我们需要寻找 6 个不同的方程。这 6 个方程可以由以下 6 组等量关系得到：

1. 四边形 OBAC 的内角和为 360° ，即 (φ - θ) + 90° + β + (180° - γ + 90°) = 360° ， 化简得 方程(1) φ + β = θ + γ

& _4 P: m" ~# J# q

2. 两条平行线的同旁内角相加为 180° ，即 (α + β) + (180° - 2γ) = 180° ，即 方程(2) α + β = 2γ

3. 由于 AO = h + r ，同时又有 AO = AD + DO = D·sinφ + r·cosφ ，因此有 方程(3) h + r = D·sinφ + r·cosφ

, o9 p* A* x9 x( S# v- X1 E

4. BD 既可以等于 D·cosφ ，又可以等于 r·sinφ ，于是有 方程(4) D·cosφ = r·sinφ

& Q+ Q" }# I7 Y1 O5 }2 d4 V6 u# b& w

5. 由于 AO = h + r ，同时又有 AO = AE + EO = d·sin(γ+θ) + r·cosθ ，因此有 方程(5) h + r = d·sin(γ+θ) + r·cosθ

6. CE 既可以等于 d·cos(γ+θ) ，又可以等于 r·sinθ ，于是有 方程(6) d·cos(γ+θ) = r·sinθ

" v. K D7 `* D* v# Z' X% S

一系列复杂的代数运算(省略数百字)最终告诉我们：

* b/ A8 B8 S1 u: Z3 [* M0 b

r = h / (√1 - 2·cosβ·cosγ + cos2γ / sinβ - 1)

/ _" C* ~; a& e& }

其中 γ = (α + β)/2 。代入已知的 α 、 β 和 h 可以得到，地球半径 r 大约为 7.29312 * 106 米，也即 7293 千米。

这个估算的误差有多大呢?事实上，地球的半径大约为 6300 多千米，可见误差不是一般的大。不过，考虑到我们估算的依据仅仅是一张照片，能把数量级估对就已经相当牛 B 了。除了测量的精度之外，还有很多潜在的因素会导致误差。目前看来，误差的最主要来源似乎是不完全平静的水面——一点小小的波浪就会给 α 、 β 的值带来巨大的影响。

; a. X3 k* b- J) ]6 s$ h7 h

公元前3 世纪，古希腊天文学家埃拉托色尼首次测量出了地球的半径。他发现夏至这一天，当太阳直射到赛因域(今埃及阿斯旺城附近)的水井时，在亚历山大城的一点的天顶与太阳的夹角为7.2°。他认为这两地在同一条子午线上，从而这两地间的弧所对的圆心角就是7.2°。又知商队旅行时测得两地间的距离约为5000 古希腊里，他按照弧长与圆心角的关系，算出了地球的半径约为40 000 古希腊里。

; r8 v4 j! n; C: w% M! D, {

他是怎么算的呢?我们不妨跟古希腊人一起来做道数学题：假设圆周长为C，半径为r，两地间的弧长为l，对应的圆心角为θ。因为360°的圆心角所对的弧长是圆周长C=2πr，所以1°的圆心角所对应的弧长长度是2πr / 360，即πr / 180。于是，半径为r 的圆中，圆心角θ所对的弧长l 为：l=θπr / 180。所以，r=180 l / (θπ)。

$ X8 A& G q2 V9 ]8 J/ F" [

当两地距离l 为5000 古希腊里，θ等于7.2 °时， 就算出地球半径r 是180×5000/(7.2×3.141 59 ) ≈ 40 000 古希腊里。曾有人考证，1 古希腊里约为现在的158 米，按这个关系换算，40 000 古希腊里则相当于现在的6300 千米。

这种测地球的方法常称为弧度测量法。用这种方法测量时，只要测出两地间的弧长和圆心角，就可求出地球的半径了。

: R* Q* n8 o+ [1 b

现代测量地球的半径，还是用弧度测量的方法，法国的皮卡尔于1669—1671 年率领测量队首次测出了巴黎附近子午线1°的长约为111.28千米，从而推算出地球的半径约为6376 千米。

% {( \0 B4 |9 w6 N

" y" s& r. G- g7 ^4 @

9 w- L) y7 P/ r- K3 _- F4 R / g. ~3 C0 ^0 ]; [ r