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1.控制方程 海洋与大气的控制方程是由一组偏微分方程表示的。以大气的基本控制方程为例，其中(1)(2)(3)式为运动方程，(4)式为热力学方程，(5)式为水汽平流方程，(6)式为连续方程，可由质量守恒推导而来。具体项的物理含义和数学推导不再赘述。倘若能精确求解如下方程组，即可对天气进行预测或进行数值实验。但该方程组的复杂程度目前难以求得其解析解，因此需要借助数值方法求解下列方程组。 上述方程组在进行求解时，考虑到计算开支和应用场景，通常会对模型进行简化。如果在水平尺度远大于垂直尺度时，例如对海岸模拟时，可将控制方程近似得到浅水方程组(Shallow Water Equations)。该方程组的形式相对简单，其解可表示惯性重力波、平流和罗斯贝波等现象，因此该方程组也被称为浅水波方程。因其形式简单，并在河道、河口和近海有较多应用空间，该方程组十分适合用于测试和检验数值方法。在不考虑粘性、风应力等，最简单的浅水方程组的形式如下所示。 2.离散化与差分离散介绍完了方程，下面就该到了求解。学过编程语言的同学们肯定知道，计算机只能处理离散过程，我们可以很简单的通过任何一种编程语言去计算 ，然而我们却无法让计算机直接计算 。因此，数值方法的关键就是如何计算导数。在学习微积分的时候，导数可以这样表示 而有限差分法的核心就是使用差分近似微分，当差分的间距取得足够小时，就可以近似计算出导数的值。此时，我们再去计算上式 时，就可以近似计算 。这样就完成了一个简单的离散化，并用差分近似微分进行了计算求解。而应用在偏微分方程的求解时，还需要探讨几个问题。 以平流方程为例，该方程形式如下，是一种双曲型偏微分方程。和我们要求解的流体力学方程形式相似。 不妨取 这样的离散点，则差分方程的解 表示为 ，即上标代表时间各点，下标代表空间各点。则平流方程的差分方程可表示成如下形式。 在对方程求解前，必须探讨两个问题，当时间步长和空间步长趋近于无穷小时，差分方程是否能收敛于偏微分方程？差分方程的解是否能收敛于偏微分方程的解么？前者是在探讨差分方程的一致性，后者是在探讨差分方程的收敛性。 不妨将这些项进行泰勒展开，然后代回差分方程，可得下式 不难发现，差分方程比微分方程多了一些项，而这些项都是随着步长趋于0而趋于0的，因此可以很好的证明一致性。而多出的这些项被称之为截断误差，是差分近似微分时造成的误差。因为我们知道，做泰勒展开时，只有保留所有项才能完全相等，然而展开项是无穷多的。在实际做运算时，针对特定的精度，只能取到相应阶数。而被舍弃掉的高阶小项被称之为截断误差。 7 X" {' D/ k2 \, J- s9 a0 n
2.2 收敛性上式差分方程可以化成如下形式，其中 。不难看出，化成这种形式后，可以发现这种形式的差分，本质上是使用n时刻的值去插值出n+1时刻的值。当 时，就等价于上述我们所说的差分格式。 也被称为Courant数，其绝对值小于1的条件被称为CFL判据。从插值的角度分析，只有使用n时刻的值做内插得到n+1时刻的值是稳定的，而外插是不稳定的。稳定时，解的收敛性是有保障的。 2.3 差分格式不同差分格式的稳定性和收敛性是有显著差别的。选择合适的差分格式，不仅能改善计算精度，也会影响到计算效率。因此，在进入数值模式的求解之前，有必要理解差分格式。差分可分为时间差分和空间差分，时间差分是用于近似对t的导数。空间差分则是针对于对空间变量的导数。时间差分可分为显式差分、隐式差分和半隐式差分。 显式差分的格式如下，右端均为n时刻的值。这样做会比较便于计算，因为在计算n+1时刻的值时，n时刻的值是已知的，只需要代入计算即可。从初始条件开始(t=0时刻)，一轮一轮的迭代，即可求得所有值。但收敛条件苛刻，在很多复杂问题上，原始的显式差分不具备计算稳定性，并且会破坏方程的种种守恒性。 隐式差分的格式如下，和上述显式差分格式的区别为右端的时间项是n+1时刻的值。隐式差分在数学上，有很好的收敛性和守恒性。但求解会比显式复杂很多，需要通过矩阵迭代求解。 半隐式差分结合了上述两种格式，可以做到无条件稳定，可以设置时间步长时不需要考虑Courant数，在真实场景中应用广泛。 如果时间采用中央差分，则可以得到蛙跳格式。蛙跳格式在海洋与大气模式中使用较多，等后文结合具体模式再详细讨论。由之前的泰勒展开可知，中央差分是二阶精度，因此该格式的时间和空间是二阶精度。每一次时间迭代时，都会跳过一层，这也是蛙跳格式名字的由来。该方法每计算一层，需要前两层的值已知，是一种显式格式。 针对具体的海洋大气方程进行离散化时，变量比上述例子更多。因此我们还需要考虑网格问题，不同的变量放在不同的位置对计算精度和效率也会有较大的影响。交错网格和非交错网格对计算有着显著的差别。这些会在后文进行一一说明。 版权声明本文创作的初衷是用于帮助数值模式的学习者。欢迎转载，转载请私信并注明作者和出处，请勿用于任何商业用途。 参考书目大气模式、资料同化和可预报性. Kalnay E, 蒲朝霞译. 气象出版社, 2005. Numerical Weather and Climate Prediction. Thomas Tomkins Warner. 2011. Ocean Modelling for Beginners. Jochen Kämpf. Springer Berlin Heidelberg, 2009. 5 C# k7 l6 D+ g7 D% D3 Z+ [: |
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