理论物理-从规范对称的意义说下去

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更新一波，先前的版本有些笔误现已更正。

【注：狭相=狭义相对论，广相=广义相对论】

从纯数的观点看，广相是切丛联络的动力学，规范场论是纤维丛联络的动力学。二者都是(不同)纤维丛上的某种联络几何。而这种联络结构的出现恰是对理论作出规范不变要求的结果。

Yang-Mills方程和Riemann曲率张量的相似性

规范场纤维丛对应关系字典 (Wu-Yang Dictionary)

从物理的观点看，规范不变的源头之一是理论力学里的诺特定理：拉氏量的每一个全域连续对称(李群)对应一个物理守恒量。若时空每个位置的场在相同的变换下保持物理方程的数学形式不变(协变)，那我们就能得到一个对应的守恒定律。具体来讲，比如能量守恒，对应的就是时间平移对称；线性动量守恒，就是空间平移对称；角动量守恒，就是空间旋转对称。现把全域不变推广成局域不变，即要求时空每点在不同变换下保持物理方程的数学形式不变(协变)，我们就得到所谓规范不变。具体到规范场论，这里规范群(由保范紧李群刻画)作用的是各种内秉空间SU(N)。以EM为例，这里内秉空间由U(1)群描述。现对内秉空间作转动，若要求全域在相同转动之下保持物理定律数学形式不变，那就得到U(1)群的力荷守恒；若要求全域在不同转动之下保持物理定律数学形式不变，即规范不变，那就可以得到电磁场作用量，从而得到一整套电动力学。

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具体到广相，这里广义坐标变换群(由非紧李群-微分同胚群刻画)作用的是时空流形每点的切空间。若要求全域在相同坐标群作用下保持物理不变，就得到狭相(广相的特例)的闵可夫斯基几何；若要求全域在不同坐标群作用下保持物理不变(广义协变)，即规范不变，就得到广相里由爱因斯坦方程描述的弯曲时空几何。由此可见，规范不变原理是对物理定律一类相当强的约束条件。这类约束基本上决定了规范玻色子场/引力场的物理行为。这也正是杨振宁70年代提出所谓(规范)对称支配相互作用的精神所在。

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然而值得注意的是，广相和规范场论的两套框架体系并不能融合。后者纤维丛的底流形是前者，这两者基本算是风马牛不相及的。细致点说，广相探讨的是外部对称，而规范场论是内部对称。我们自然可以硬把外部对称当内部对称来做(不反过来做的原因是规范场量子化我们知道如何处理，比如把规范场的经典作用量丢去费曼路径积分的指数位置或者把经典泊松括号替换成量子泊松括号)，即得到所谓局域庞加莱规范场论。该理论六七十年代就有人研究过，但并没什么好的发展。

另一条路是采用高维时空紧致化，这也是超弦理论的基本思想。Kaluza-Klein理论(超引力)就是该思想的源头：5维真空时空的爱因斯坦方程紧致化掉第5维后得到的理论自动包括4维引力和麦克斯韦方程(存在于被紧致化的蜷缩维中，而紧致化基本可视为将外部维度缩到纤维中，从而将纤维，底流形，内外部对称联系在一起)。进一步可以将维度推广成11维，其中4个广延维容纳了广相，7个蜷缩维容纳了标准模型的规范场论。然而不幸的是，这样算出来的荷质比不对。

再另一方面，一些数学手段可以用来统一内外部对称，比如大名鼎鼎的超对称。它不但可以结合内外部对称，还建立了费米子和玻色子间的对应关系：费米子经由超对称作用变成玻色子，反之亦然。且超对称作用下量子场论的重整化与发散问题都可以得到明显的缓解。只不过现在的问题是：超对称的正确性还未被实验证实。

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