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* p: g0 k4 J4 L) q. S 2021五一杯数学建模B题消防救援问题
: c T4 [; U8 D# M4 h$ _ 消防救援问题 . B) V# f2 ?9 O; I3 |! y
随着我国经济的高速发展，城市空间环境复杂性急剧上升，各种事故灾害频发，安全风险不断增大，消防救援队承担的任务也呈现多样化、复杂化的趋势。对于每一起出警事件，消防救援队都会对其进行详细的记录。
( o7 l% |: t" n# | 某地有15个区域，分别用A、B、C…表示，各区域位置关系及距离如图1所示，各区域的人口及面积见附件1，该地消防救援队出警数据见附件2。 : @7 a$ U. u, ^, l. P
请依据该地的消防出警数据，建立数学模型，完成以下问题：
( j$ F. c0 R* C4 s# f 问题1：将每天分为三个时间段（0:00-8:00为时段Ⅰ，8:00-16:00为时段Ⅱ，16:00-24:00为时段Ⅲ），每个时间段安排不少于5人值班。假设消防队每天有30人可安排值班，请根据附件数据，建立数学模型确定消防队在每年2月、5月、8月、11月中第一天的三个时间段各应安排多少人值班。 5 O% p: Y8 F2 M3 C
问题2：以该地2016年1月1日至2019年12月31日的数据为基础，以月份为单位，建立消防救援出警次数的预测模型；以2020年1月1日至2020年12月31日的数据作为模型的验证数据集，评价模型的准确性和稳定性，并对2021年各月份的消防救援出警次数进行预测，完成表1。
( [" U9 i2 C7 J2 W/ ` 问题3：依据7种类别事件的发生时间，建立各类事件发生次数与月份关系的多种数学模型，以拟合度最优为评价标准，确定每类事件发生次数的最优模型。
0 z. m, s w+ {( m4 L4 R: J7 y3 M2 g; C 问题4：根据图1，请建立数学模型，分析该地区2016-2020年各类事件密度在空间上的相关性，并且给出不同区域相关性最强的事件类别（事件密度指每周每平方公里内的事件发生次数）。
8 ` V* b% Q5 G" z 问题5：依据附件2，请建立数学模型，分析该地各类事件密度与人口密度之间的关系（人口密度指每平方公里内的人口数量）。 + E+ H. y7 \3 m. g
问题6：目前该地有两个消防站，分别位于区域J和区域N，请依据附件1和附件2，综合考虑各种因素，建立数学模型，确定如果新建1个消防站，应该建在哪个区域？如果在2021-2029年每隔3年新建1个消防站，则应依次建在哪些区域？ $ `0 O, t% C, h0 p1 I" Q% B
/ b& Y7 Y, D" ~( j& m, {4 l
问题分析：
# e% P+ v# A8 B. M 针对问题 1，关于确定人数值班问题，首先筛选并统计出 2020 年、2019 年、
" q1 {/ y( H) U( I+ ~ 2018 年、2017 年、2016 年的 2 月、5 月、8 月、11 月的第一天的三个时间段的出警次数，通过灰色预测方法得到每年的这 2 月、5 月、8 月、11 月这四个月第一天的三个时间段出警次数的预测数据。在对三个时间段各分配 5 人的基础上，根据每个
( k4 x6 O0 G5 O5 o. a2 y* x3 z 月第一天的三个时间段对应的权重比例对剩余 15 人进行合理分配，计算出人员分配的人数。 1 @% p; {9 I1 H) s
针对问题 2，我们引入 ARIMA 预测模型，利用差分法对数据进行平稳性处理， 使得模型更加稳定和准确，对模型的检验我们采用平稳性 R 方与显著性检验。
! u$ d$ ]4 F+ G1 D' O 针对问题 3，我们选用了插值拟合和 ARIMA 两种模型，以此来建立各类事件发生次数与月份的关系。
7 e- G1 @- r& p' F: J+ j4 C 针对问题 4，我们首先绘制散点图判断出各类事件在空间上具有相关性，为了直观表示各指标在不同区域之间的相关性，采用皮尔逊系数进行直观展示。
% e! K" v3 X; j1 a1 f# r 针对问题 5，我们首先绘制散点图判断出人口密度与事件具有线性关系，由此可以采用灰色关联模型进行分析。 : B" h: A/ {+ R* |5 |
针对问题 6，选择消防站需要考虑的因素最多的就是平均出警距离，所以在本问题中我们选择出警距离作为建立消防站的唯一评判因素。利用 Dijkstra 算法计算各区域之间的最短距离，计算在区域 J 和区域 N 以外的 13 个区域新增一个消防站后的平均出警距离，取新增后平均出警距离最小的区域作为建消防站的区域。
4 `1 u0 e1 p. h. s3 h5 l 6 p2 r; v# b1 w7 k2 p$ ~
load 'xx.mat' n=length(y); yy=ones(n,1);
$ q4 x6 b/ C5 Q4 x/ z yy(1)=y(1);
3 y+ d3 n6 n; [+ M( K4 o for i=2:n
6 X5 ?9 }: \- ] yy(i)=yy(i-1)+y(i) ( W' |; P8 f6 [
end # n5 G4 g' p2 ]9 I) o
B=ones(n-1,2); 1 P5 C) ^8 W0 I7 w5 m9 R5 z! `
for i=1 n-1)
2 i$ _7 Q. V* V; q B(i,1)=-(yy(i)+yy(i+1))/2; B(i,2)=1; % ~+ j. g- I9 b, u* b
end BT=B'; for j=1n-1) + ^' |1 w* d; O
YN(j)=y(j+1); 9 t* f" H; U4 D& X: L
end YN=YN'; ) E3 h# n! L; f2 I, D
A=inv(BT*B)*BT*YN; a=A(1); 0 {/ A0 B$ q: w
u=A(2); / x) W5 R& H# W( }
t=u/a;
- Q2 b5 C- c, ]( p, S: A* ` t_test=input('输入需要预测的个数'); i=1:t_test+n;
* {$ W; Q$ s/ P1 E: _1 @ yys(i+1)=(y(1)-t).*exp(-a.*i)+t; yys(1)=y(1); 9 J' S0 l7 t/ o
for j=n+t_test:-1:2 ys(j)=yys(j)-yys(j-1);
, W' n5 h: D, }/ L end x=1:n; ! ]) n2 E5 k* K
xs=2:n+t_test; yn=ys(2:n+t_test);
1 K# ?4 j# i! Z4 N! ? plot(x,y,'^r',xs,yn,'*-b'); det=0;
4 d; D& p4 L( I( s" c+ k) ^ for i=2:n
) l/ l L# g [4 b6 G2 N# B, k6 w. \1 z det=det+abs(yn(i)-y(i));
5 M% \& j m I6 p( K+ v end det=det/(n-1); ! f! Y6 N/ c" n `: z
disp(['百分绝对误差为：',num2str(det),'%']); 6 }+ R: N7 e& v% Y7 W' d! }6 `
disp(['预测值为：',num2str(ys(n+1:n+t_test))]); g1 u# U, i+ c0 J o0 u! d5 @8 G! M
% p4 w( d$ p" O! u
" b9 h8 Q! O( T# B
) N, y$ c- c2 _4 K7 V. r
2 x e/ e4 M0 Y% G' J- M, s3 C, r& M | 
