MATLAB应用——数据分析与统计

数学建模是用数学方法解决各种实际问题的桥梁，它已经渗透到各个领域，而且发挥出越来越重要的作用。面对自然科学和工程应用中的难题，大部分人无从入手，而个别人却能短时间内给出切实可行的解决方案，其差别往往在于驾驭数学知识的能力不同。现代计算机技术的应用不仅减少了计算错误，而且加强了数学应用者解决问题的能力。MATLAB是一款常用的数据处理软件，为了更好的应用MATLAB软件，我将整理好的MATLAB函数分享到今日头条上，以利己利人查阅。

MATLAB提供的很多数据分析与统计函数都是面向列的，即矩阵中的每一列代表一个变量的多个观测值，其列数对应于变量数，行数对应于测量点数。

' m/ X, Y+ Y6 C# ~: C3 D3 y

max和min函数可求出数据的最大值和最小值，mean和std函数可求出数据的均值和标准差，sum和prod函数可求出数据元素和与数据元素积。例如，对MATLAB内含的某城市24小时的车流量数据count.dat可作分析：

* ~3 } O' D6 K. ~( W' `

load count.dat

9 h% X! G z3 B: v$ r7 `7 p* Y

mx=max(count)

( L) i5 `( h* g3 M) A+ q6 _/ e

mx = 114 145 257

: i" T$ `$ U' X- F! y

mu=mean(count)

mu = 32.0000 46.5417 65.5833

+ R1 @) D7 Z3 B$ Y/ y8 Q

sigma=std(count)

sigma = 25.3703 41.4057 68.0281

对有些函数还可给出位置，例如，在求出最小值的同时，可得到最小值所在的位置(行号)：

[mx,indx]=min(count)

4 Y( `, p C: [9 D2 f) n5 f

mx = 7 9 7

- |3 r$ k0 y% K$ d! A0 M0 b

indx = 2 23 24

1、协方差和相关系数

cov函数可以求出单个变量的协方差，而corrcoef函数可求出两个变量之间的相关系数，例如：

cv=cov(count)

cv = 1.0e+003 *

0.6437 0.9802 1.6567

0.9802 1.7144 2.6908

1.6567 2.6908 4.6278

cr=corrcoef(count)

0 w; K, u3 P' d& ~; q2 _, Q. m p

cr =

' \6 |& ]! T* ]( P' r

1.0000 0.9331 0.9599

: s+ J( l I; p3 w$ a% @7 {+ W

0.9331 1.0000 0.9553

0.9599 0.9553 1.0000

2、数据预处理

在MATLAB中遇到超出范围的数据时均用NaN (非数值) 表示，而且在任何运算中，只要包含NaN，就将它传递到结果中，因此在对数据进行分析前，应对数据中出现的NaN作剔除处理。例如：

+ x; ?! W/ ]; I

a=[1 2 3;5 NaN 8;7 4 2];

sum(a)

ans = 13 NaN 13

在矢量x中删除NaN元素，可有下列四种方法：

(1)  i=find(~isnan(x))；x=x(i)。

5 n6 v" O" [' M2 Y7 y

(2)  x=x(find(~isnan(x)))。

1 @$ I. M2 x4 [: A- W5 m8 c6 E

(3)  x=x(~isnan(x))。

% ]1 S2 N3 [6 ~! e! T& C

(4)  x(isnan(x))=[ ]。

在矩阵X中删除NaN所在的行，可输入

* `% `4 ?' E0 }+ c5 p

X(any(isnan(X))，：)=[ ]；

经过这种预处理后的数据，可进行各种分析和统计操作。

+ g( e! I( M5 l) `! A* M+ l/ _; n& t; w

3、回归和曲线拟合

8 `: ]9 T8 M0 {* [8 _

对给定的数据进行拟合，可采用多项式回归，也可采用其它信号形式的回归，其基本原理是最小二乘法，这一功能实现在MATLAB中显得轻而易举。

9 H1 _ f+ X- B I$ Q

例1：设通过测量得到一组时间t与变量y的数据：

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

y=[0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.40];

. u& H/ A$ r6 D. x; g- f: O

进行回归，可得到两种不同的结果。MATLAB程序如下：

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

y=[.5 .82 1.14 1.25 1.35 1.40];

X1=[ones(size(t)) t t.^2];

! ]& j- J$ ^* l/ S% e

a=X1\y;

! | }7 Y) u$ M9 B( i

X2=[ones(size(t)) exp(–t) t.*exp(–t)];

9 a2 B+ Q5 j4 D* C7 K1 G

b=X2\y;

T=[0:.1:2.5];

Y1=[ones(size(T)) T T.^2]*a;

; l: B; @) M' X5 t

Y2=[ones(size(T)) exp(-T) T.*exp(-T)]*b;

figure(1)

1 Y* g1 W5 L. o+ C/ ^) n9 Y, b

subplot(1,2,1)

plot(T,Y1,-,t,y,o),grid on

title(多项式回归)

subplot(1,2,2)

plot(T,Y2,-,t,y,o),grid on

' A8 ]" v1 v# C

title(指数函数回归)

- ^3 ^9 P1 T: N$ w" \' F9 L- J

% ?. v8 ^: f( b+ { c/ t6 L

例2 已知变量y与x1，x2有关，测得一组数据为

: b" R9 t! h1 X: w$ g, Q( t1 x5 Q

　　x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1 ];

　　x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4 ];

　　y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

采用来拟合，则有

x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1];

x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4];

y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

0 m- b( D6 u& y5 J( E

X=[ones(size(x1)) x1 x2];

i: o8 d6 e9 W. b* f2 ^( `

a=X\y

7 c7 M+ O# ?8 `3 S

a = 0.1018 0.4844 −0.2847

8 U2 y% R! a, l/ ]

因此数据的拟合模型为

y=0.1018+0.4844x1−0.2487x2

- J. h) }- P. k& u4 D' R; ^6 ?

4、傅里叶分析与FFT

利用MATLAB提供的FFT函数可方便地计算出信号的傅里叶变换，从而在频域上对信号进行分析。

# h) w7 v2 R+ D( D9 [+ g% [

例1 ：混合频率信号成分分析。有一信号x由三种不同频率的正弦信号混合而成，通过得到信号的DFT，确定出信号的频率及其强度关系，程序如下：

t=0:1/119:1;

* P7 ]& z# ]' P7 C" e

x=5*sin(2*pi*20*t)+3*sin(2*pi*30*t)+sin(2*pi*45*t);

4 c2 K3 F. X" ~" X% D

y=fft(x);

" P# X1 |! d. C& K! R. @3 Q7 }

m=abs(y);

f=(0:length(y) -1)*119/length(y);

figure(1)

- L! E( H& P+ [# h1 w

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

title(多频率混合信号)

. P) e) }- S/ q1 Z8 ]# `

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

subplot(2,1,2),plot(f,m)

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

xlabel(Frequency (Hertz))

6 F# i. Y# l; t

例2 ：信号在传输过程中，由于受信道或环境影响，在接收端得到的是噪声环境下的信号。我们利用FFT函数对这一信号进行傅里叶分析，从而确定信号的频率，程序如下：

8 T: K; g6 t) q! `- [- m& K

t=0:1/199:1;

) y. r3 X2 s/ x' C; U, c: J% O

x=sin(2*pi*50*t)+1.2*randn(size(t)); ％噪声中的信号

y=fft(x);

) L' S1 I% F0 O, }

m=abs(y);

f=(0:length(y) -1)*199/length(y);

figure(1)

) a, E; d$ C8 n

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

' K: K" M+ _( G* M

title(信号检测)

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

subplot(2,1,2),plot(f,m)

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

" ]4 W" [' D4 @0 z. M# |

xlabel(Frequency (Hertz))

. Z u/ h/ Y( x! Z0 ^

例3 ：天文学家记录了300年来太阳黑子的活动情况，我们对这组数据进行傅里叶分析，从而得出太阳黑子的活动周期。MATLAB程序如下：

' _/ O+ d8 ?! I; `) Y$ m+ ?

load sunspot.dat

7 I3 }" K0 P& [/ h6 d$ d7 q7 H

year=sunspot(:,1);

wolfer=sunspot(:,2);

$ J& D& P/ i4 o

figure(1)

subplot(2,1,1)

plot(year,wolfer)

title(原始数据)

Y=fft(wolfer);

N=length(Y);

Y(1)=[];

) N6 ?! e7 T6 M- a

power=abs(Y(1:N/2)).^2;

nyquist=1/2;

( r0 t& `' H \3 \% y& @3 Z

freq=(1:N/2)/(N/2)*nyquist;

period=1./freq;

subplot(2,1,2)

- a( J6 K$ r1 q$ X4 u

plot(period,power)

title(功率谱), grid on

axis([0 40 0 2e7])

+ P* _& ~; k% R1 f

) e+ n4 O$ J, A: q% O) x

各位读者朋友，感谢您的阅读，您若对工程应用中的数学问题感兴趣，欢迎关注我，愿我们一起讨论和成长！！！

- R4 U6 F1 f8 D; ] % b& H4 a9 U9 W - m. B& V' D1 k& Q- A- t" ?