MATLAB应用——数据分析与统计

9 z, W ? [ j7 `3 E9 X/ T$ k

数学建模是用数学方法解决各种实际问题的桥梁，它已经渗透到各个领域，而且发挥出越来越重要的作用。面对自然科学和工程应用中的难题，大部分人无从入手，而个别人却能短时间内给出切实可行的解决方案，其差别往往在于驾驭数学知识的能力不同。现代计算机技术的应用不仅减少了计算错误，而且加强了数学应用者解决问题的能力。MATLAB是一款常用的数据处理软件，为了更好的应用MATLAB软件，我将整理好的MATLAB函数分享到今日头条上，以利己利人查阅。

MATLAB提供的很多数据分析与统计函数都是面向列的，即矩阵中的每一列代表一个变量的多个观测值，其列数对应于变量数，行数对应于测量点数。

max和min函数可求出数据的最大值和最小值，mean和std函数可求出数据的均值和标准差，sum和prod函数可求出数据元素和与数据元素积。例如，对MATLAB内含的某城市24小时的车流量数据count.dat可作分析：

load count.dat

) H2 C8 D1 v, F% u# T7 w! v$ I

mx=max(count)

+ c' V) c9 w4 @/ c3 u! X

mx = 114 145 257

mu=mean(count)

mu = 32.0000 46.5417 65.5833

sigma=std(count)

" j7 m) _( l. h$ k) u

sigma = 25.3703 41.4057 68.0281

对有些函数还可给出位置，例如，在求出最小值的同时，可得到最小值所在的位置(行号)：

+ p/ V, d% q6 G( d4 e& v

[mx,indx]=min(count)

4 J1 s$ F3 u; f" e1 f+ s

mx = 7 9 7

5 z9 i# u! Y- B/ y

indx = 2 23 24

1 O; K$ r6 F, g8 T! @, D

1、协方差和相关系数

, l2 @5 X1 { H

cov函数可以求出单个变量的协方差，而corrcoef函数可求出两个变量之间的相关系数，例如：

; N/ Z \, b* H" p* |9 ~: f) W) J

cv=cov(count)

: @" y" W" m* \7 l

cv = 1.0e+003 *

8 \9 o4 K0 U' _% ?' d

0.6437 0.9802 1.6567

0.9802 1.7144 2.6908

1.6567 2.6908 4.6278

cr=corrcoef(count)

cr =

4 G3 Z" q+ D0 U, c6 Z5 g

1.0000 0.9331 0.9599

: p* B9 ?% C4 N* Q& F: g

0.9331 1.0000 0.9553

0.9599 0.9553 1.0000

2、数据预处理

0 [4 w( v7 m0 G2 z# o; U, u, G

在MATLAB中遇到超出范围的数据时均用NaN (非数值) 表示，而且在任何运算中，只要包含NaN，就将它传递到结果中，因此在对数据进行分析前，应对数据中出现的NaN作剔除处理。例如：

! b( K4 O4 |3 I$ z, c

a=[1 2 3;5 NaN 8;7 4 2];

4 }! T K- T) Y, r. d" k, k6 Z

sum(a)

ans = 13 NaN 13

4 n. b/ L" I) W

在矢量x中删除NaN元素，可有下列四种方法：

(1)  i=find(~isnan(x))；x=x(i)。

(2)  x=x(find(~isnan(x)))。

(3)  x=x(~isnan(x))。

(4)  x(isnan(x))=[ ]。

- g: F- X; O/ I+ k6 F9 O+ S. \- _

在矩阵X中删除NaN所在的行，可输入

X(any(isnan(X))，：)=[ ]；

6 ?" d% \) D w. Q( Q1 m) g2 s) K+ C

经过这种预处理后的数据，可进行各种分析和统计操作。

3、回归和曲线拟合

* F- E- Q Y3 ~% [* `) {9 c

对给定的数据进行拟合，可采用多项式回归，也可采用其它信号形式的回归，其基本原理是最小二乘法，这一功能实现在MATLAB中显得轻而易举。

例1：设通过测量得到一组时间t与变量y的数据：

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

: n( \4 W7 K% b$ u3 z8 j) L

y=[0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.40];

( s- C: Y. t) s& G! w3 g) ~

进行回归，可得到两种不同的结果。MATLAB程序如下：

9 i8 p8 e2 U0 ~' j% E" X

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

y=[.5 .82 1.14 1.25 1.35 1.40];

5 [$ {, N' Q+ Y; w! v7 x* o2 l! ?

X1=[ones(size(t)) t t.^2];

a=X1\y;

' n u1 t% s/ l; X, b

X2=[ones(size(t)) exp(–t) t.*exp(–t)];

b=X2\y;

5 n! l2 L# ^2 A* Z4 A

T=[0:.1:2.5];

6 E( q. Q5 C+ C9 N) C0 r4 q

Y1=[ones(size(T)) T T.^2]*a;

Y2=[ones(size(T)) exp(-T) T.*exp(-T)]*b;

: B8 N& f% r/ P5 U

figure(1)

subplot(1,2,1)

. ]+ K# x% _9 O. H! E0 r

plot(T,Y1,-,t,y,o),grid on

title(多项式回归)

subplot(1,2,2)

plot(T,Y2,-,t,y,o),grid on

( t0 ]* y; _9 m

title(指数函数回归)

$ |6 u, G& c, ~3 ?' u! w r0 [2 _

例2 已知变量y与x1，x2有关，测得一组数据为

' w( F9 a, m& `. R

　　x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1 ];

　　x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4 ];

+ z/ F) n. }8 }% I5 u

　　y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

7 A1 n- F( A( i# [9 e% {

采用来拟合，则有

x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1];

x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4];

2 p1 |$ J+ [# C; K6 D

y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

X=[ones(size(x1)) x1 x2];

a=X\y

a = 0.1018 0.4844 −0.2847

) V z9 I' ]: I- j

因此数据的拟合模型为

" J) }0 m- D9 d% G7 P

y=0.1018+0.4844x1−0.2487x2

! Q6 |! }" F) @

4、傅里叶分析与FFT

利用MATLAB提供的FFT函数可方便地计算出信号的傅里叶变换，从而在频域上对信号进行分析。

( k1 A: c+ i7 i

例1 ：混合频率信号成分分析。有一信号x由三种不同频率的正弦信号混合而成，通过得到信号的DFT，确定出信号的频率及其强度关系，程序如下：

t=0:1/119:1;

# Q# j" N+ O n0 o1 E0 l. G0 @' l8 g

x=5*sin(2*pi*20*t)+3*sin(2*pi*30*t)+sin(2*pi*45*t);

1 K( |# g' J1 w) ^! L$ ]# R

y=fft(x);

m=abs(y);

! F5 ?7 u, e" H4 b, j* `$ ]0 I2 u

f=(0:length(y) -1)*119/length(y);

figure(1)

, ~- ]* B9 Z( S) w# Q1 e! F

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

title(多频率混合信号)

$ {' q3 l: \% k, t3 x1 ~ E

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

$ Z/ q \* k W6 k. q7 a t

subplot(2,1,2),plot(f,m)

+ U# U; S: {* L0 W/ `

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

! E- A1 t" {9 d1 N. X! k7 ~/ K

xlabel(Frequency (Hertz))

0 |! j- I1 S* E: a, B# f1 g% R

例2 ：信号在传输过程中，由于受信道或环境影响，在接收端得到的是噪声环境下的信号。我们利用FFT函数对这一信号进行傅里叶分析，从而确定信号的频率，程序如下：

t=0:1/199:1;

5 ?6 c6 d3 R, Y# r- D

x=sin(2*pi*50*t)+1.2*randn(size(t)); ％噪声中的信号

y=fft(x);

m=abs(y);

f=(0:length(y) -1)*199/length(y);

figure(1)

, g, S( B. Y2 C6 Q- i0 p

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

title(信号检测)

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

subplot(2,1,2),plot(f,m)

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

Q+ O+ v2 p: g9 Z5 k

xlabel(Frequency (Hertz))

例3 ：天文学家记录了300年来太阳黑子的活动情况，我们对这组数据进行傅里叶分析，从而得出太阳黑子的活动周期。MATLAB程序如下：

# h" R+ d3 Q v# u6 k/ u

load sunspot.dat

year=sunspot(:,1);

wolfer=sunspot(:,2);

/ O/ k5 D6 Q J+ p7 }6 K

figure(1)

subplot(2,1,1)

plot(year,wolfer)

( t/ P0 N1 l" b$ X

title(原始数据)

Y=fft(wolfer);

N=length(Y);

Y(1)=[];

) t! z9 p* m+ c% g) {8 V

power=abs(Y(1:N/2)).^2;

nyquist=1/2;

* Y6 I/ O4 h# g+ e% a9 R6 K( u0 d

freq=(1:N/2)/(N/2)*nyquist;

period=1./freq;

subplot(2,1,2)

plot(period,power)

title(功率谱), grid on

@! H* L/ w/ w6 B9 i( C: Z) q S

axis([0 40 0 2e7])

: X" Q+ |: B; R# K |

各位读者朋友，感谢您的阅读，您若对工程应用中的数学问题感兴趣，欢迎关注我，愿我们一起讨论和成长！！！

2 G9 E* R+ r( q: R