MATLAB应用——数据分析与统计

数学建模是用数学方法解决各种实际问题的桥梁，它已经渗透到各个领域，而且发挥出越来越重要的作用。面对自然科学和工程应用中的难题，大部分人无从入手，而个别人却能短时间内给出切实可行的解决方案，其差别往往在于驾驭数学知识的能力不同。现代计算机技术的应用不仅减少了计算错误，而且加强了数学应用者解决问题的能力。MATLAB是一款常用的数据处理软件，为了更好的应用MATLAB软件，我将整理好的MATLAB函数分享到今日头条上，以利己利人查阅。

# a6 I; o4 r$ {# N% Q

MATLAB提供的很多数据分析与统计函数都是面向列的，即矩阵中的每一列代表一个变量的多个观测值，其列数对应于变量数，行数对应于测量点数。

# v' ]7 W; F2 V& t" I8 p

max和min函数可求出数据的最大值和最小值，mean和std函数可求出数据的均值和标准差，sum和prod函数可求出数据元素和与数据元素积。例如，对MATLAB内含的某城市24小时的车流量数据count.dat可作分析：

9 Q0 ^5 h: u+ L( `8 ]- h2 M( d

load count.dat

mx=max(count)

, l; E4 {. Q5 i$ J

mx = 114 145 257

mu=mean(count)

mu = 32.0000 46.5417 65.5833

sigma=std(count)

sigma = 25.3703 41.4057 68.0281

. p( r& [- F) h3 g* t& n k

对有些函数还可给出位置，例如，在求出最小值的同时，可得到最小值所在的位置(行号)：

7 V$ y9 R$ Q2 k! K' ]% s

[mx,indx]=min(count)

4 G# R; T, Z5 E& U

mx = 7 9 7

) r6 a+ e" \* O4 N1 F. B

indx = 2 23 24

1、协方差和相关系数

, Z% U7 T1 i' K1 b* x

cov函数可以求出单个变量的协方差，而corrcoef函数可求出两个变量之间的相关系数，例如：

$ F7 ?# V! ^+ ]* Q# q* v

cv=cov(count)

cv = 1.0e+003 *

6 N. n# C" X, Z. Q5 p! x0 y7 h

0.6437 0.9802 1.6567

0.9802 1.7144 2.6908

1.6567 2.6908 4.6278

cr=corrcoef(count)

1 l( g% N& K- U5 O C

cr =

; U" u. P6 L* x1 k. Q

1.0000 0.9331 0.9599

9 t" [- G! j5 B6 e- w

0.9331 1.0000 0.9553

@: W* b. N, Y* F6 F0 b) e) Z. K

0.9599 0.9553 1.0000

* k3 ~% N& I& |$ }4 |/ t( ? ^: W

2、数据预处理

在MATLAB中遇到超出范围的数据时均用NaN (非数值) 表示，而且在任何运算中，只要包含NaN，就将它传递到结果中，因此在对数据进行分析前，应对数据中出现的NaN作剔除处理。例如：

6 f" s/ Z2 |% |: x% U8 N

a=[1 2 3;5 NaN 8;7 4 2];

sum(a)

ans = 13 NaN 13

3 P9 m4 { h, b4 {

在矢量x中删除NaN元素，可有下列四种方法：

(1)  i=find(~isnan(x))；x=x(i)。

' f4 J3 V! d3 m4 K6 o4 c( B5 k

(2)  x=x(find(~isnan(x)))。

(3)  x=x(~isnan(x))。

(4)  x(isnan(x))=[ ]。

在矩阵X中删除NaN所在的行，可输入

X(any(isnan(X))，：)=[ ]；

1 g5 Q% e5 z; g5 o2 i: d, _) b

经过这种预处理后的数据，可进行各种分析和统计操作。

% l5 j# ?4 S4 M, j! K6 K4 `: m

3、回归和曲线拟合

. O$ Q9 O" U& U

对给定的数据进行拟合，可采用多项式回归，也可采用其它信号形式的回归，其基本原理是最小二乘法，这一功能实现在MATLAB中显得轻而易举。

/ S5 a+ k/ K; d: `

例1：设通过测量得到一组时间t与变量y的数据：

5 X) v u% B# ?& M% \+ K" G+ h

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

y=[0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.40];

进行回归，可得到两种不同的结果。MATLAB程序如下：

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

y=[.5 .82 1.14 1.25 1.35 1.40];

- z; t8 C; E* ?( j

X1=[ones(size(t)) t t.^2];

" S: @$ k7 A. t" A3 N% m: v9 w: Y

a=X1\y;

X2=[ones(size(t)) exp(–t) t.*exp(–t)];

b=X2\y;

T=[0:.1:2.5];

) W- x' r6 A h" l4 J) Z

Y1=[ones(size(T)) T T.^2]*a;

Y2=[ones(size(T)) exp(-T) T.*exp(-T)]*b;

. x; u. J' X( Q9 e3 {; e

figure(1)

subplot(1,2,1)

0 z* k3 J: n8 @9 g; _8 r( F3 U+ A

plot(T,Y1,-,t,y,o),grid on

0 r4 }" ?0 t0 }3 i% O

title(多项式回归)

" [: B! ]" X9 B7 m" M( f3 s. S+ }

subplot(1,2,2)

" x: x% O. z4 \$ L& Y3 J

plot(T,Y2,-,t,y,o),grid on

title(指数函数回归)

/ ?" E% e; s2 ^" Q h( U8 E

例2 已知变量y与x1，x2有关，测得一组数据为

　　x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1 ];

　　x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4 ];

1 u6 {* o: `, z7 B

　　y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

采用来拟合，则有

. E* }( o \ O

x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1];

x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4];

y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

6 j: ], n. N& A4 F9 a! n B' M

X=[ones(size(x1)) x1 x2];

1 @6 l/ r W/ C

a=X\y

a = 0.1018 0.4844 −0.2847

- ]1 M& `8 \( i. }. Z& G) C& d

因此数据的拟合模型为

y=0.1018+0.4844x1−0.2487x2

4、傅里叶分析与FFT

利用MATLAB提供的FFT函数可方便地计算出信号的傅里叶变换，从而在频域上对信号进行分析。

例1 ：混合频率信号成分分析。有一信号x由三种不同频率的正弦信号混合而成，通过得到信号的DFT，确定出信号的频率及其强度关系，程序如下：

t=0:1/119:1;

: V! N+ ?2 x7 P: Y c

x=5*sin(2*pi*20*t)+3*sin(2*pi*30*t)+sin(2*pi*45*t);

& c' k" f7 U$ J, f8 D2 ` `* |$ i

y=fft(x);

N+ r/ {" h% O2 L

m=abs(y);

f=(0:length(y) -1)*119/length(y);

figure(1)

" Q& l* T) w9 D: `/ M

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

: ` P7 R$ |: _1 s3 r0 ]

title(多频率混合信号)

4 _! F4 r% w" K) w

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

v- h) |; j" S& v7 |/ X3 |5 l1 o

subplot(2,1,2),plot(f,m)

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

xlabel(Frequency (Hertz))

例2 ：信号在传输过程中，由于受信道或环境影响，在接收端得到的是噪声环境下的信号。我们利用FFT函数对这一信号进行傅里叶分析，从而确定信号的频率，程序如下：

+ }; j: F+ h; k; q

t=0:1/199:1;

x=sin(2*pi*50*t)+1.2*randn(size(t)); ％噪声中的信号

y=fft(x);

5 Q/ {+ s$ ?# Z+ V2 }. s; y6 T+ ^

m=abs(y);

f=(0:length(y) -1)*199/length(y);

: f5 y5 p7 M; S% Y

figure(1)

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

$ l0 R- c. ~ R& H; A

title(信号检测)

' {" N! i4 r+ r' R7 `; r: H

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

9 R: a4 ^/ Z- a& n0 E. g3 K; B+ d

subplot(2,1,2),plot(f,m)

, R7 P- Z- G/ m4 X/ h

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

xlabel(Frequency (Hertz))

) P) C: N+ H! D9 u

7 L% {3 W/ {1 j

例3 ：天文学家记录了300年来太阳黑子的活动情况，我们对这组数据进行傅里叶分析，从而得出太阳黑子的活动周期。MATLAB程序如下：

load sunspot.dat

year=sunspot(:,1);

6 X) x! B- r* A. A- ~/ a

wolfer=sunspot(:,2);

7 g5 }; q: B A! O

figure(1)

, B/ Q& J" v; Q. j8 B

subplot(2,1,1)

7 r e- u* w8 u8 @7 ~ r ~

plot(year,wolfer)

2 i4 e5 Q) B& Q

title(原始数据)

Y=fft(wolfer);

6 d$ t3 }7 N+ n4 n' r- ?7 ^0 x+ r

N=length(Y);

Y(1)=[];

; R. f5 \7 D" m* M

power=abs(Y(1:N/2)).^2;

nyquist=1/2;

freq=(1:N/2)/(N/2)*nyquist;

$ p/ H1 ~/ B0 O' S5 v0 m

period=1./freq;

. V6 }2 {; Q# ~4 D! U

subplot(2,1,2)

0 o$ t( _8 a( G9 H

plot(period,power)

7 n5 ]- ^+ K: m! e' \

title(功率谱), grid on

axis([0 40 0 2e7])

各位读者朋友，感谢您的阅读，您若对工程应用中的数学问题感兴趣，欢迎关注我，愿我们一起讨论和成长！！！

! l1 G8 [3 x( E5 f- j6 o& Q . P* `' ~6 I8 @6 I$ O: F1 M: G 4 _: R# z% ^! N ( T K! f* F8 k d4 U