MATLAB应用——数据分析与统计

3 ~# F& ^2 n. O# Q

数学建模是用数学方法解决各种实际问题的桥梁，它已经渗透到各个领域，而且发挥出越来越重要的作用。面对自然科学和工程应用中的难题，大部分人无从入手，而个别人却能短时间内给出切实可行的解决方案，其差别往往在于驾驭数学知识的能力不同。现代计算机技术的应用不仅减少了计算错误，而且加强了数学应用者解决问题的能力。MATLAB是一款常用的数据处理软件，为了更好的应用MATLAB软件，我将整理好的MATLAB函数分享到今日头条上，以利己利人查阅。

MATLAB提供的很多数据分析与统计函数都是面向列的，即矩阵中的每一列代表一个变量的多个观测值，其列数对应于变量数，行数对应于测量点数。

- [' [* V; b8 R2 t

max和min函数可求出数据的最大值和最小值，mean和std函数可求出数据的均值和标准差，sum和prod函数可求出数据元素和与数据元素积。例如，对MATLAB内含的某城市24小时的车流量数据count.dat可作分析：

5 s( h0 j5 [5 s3 o# {

load count.dat

mx=max(count)

1 |( j, S+ D3 j; V0 Q

mx = 114 145 257

mu=mean(count)

mu = 32.0000 46.5417 65.5833

sigma=std(count)

sigma = 25.3703 41.4057 68.0281

+ L; X. a( F' l, h

对有些函数还可给出位置，例如，在求出最小值的同时，可得到最小值所在的位置(行号)：

[mx,indx]=min(count)

6 f2 h' p9 b+ o' {# s$ P5 Q' d

mx = 7 9 7

2 E' @, R, r# j- D4 [7 _$ J f

indx = 2 23 24

! U" ?" K. o1 J3 Q/ Q

1、协方差和相关系数

! k9 b# g' B6 {9 [

cov函数可以求出单个变量的协方差，而corrcoef函数可求出两个变量之间的相关系数，例如：

! u4 Y6 H( G; Q9 l( n. t6 e

cv=cov(count)

cv = 1.0e+003 *

0.6437 0.9802 1.6567

0.9802 1.7144 2.6908

1.6567 2.6908 4.6278

cr=corrcoef(count)

, ?7 x- j- O; k. f

cr =

/ v% i# z) _# g& I4 _3 ]& J7 ?( j& Y% c

1.0000 0.9331 0.9599

; y9 T: ~. t" ?" a7 D" j3 j5 d7 M

0.9331 1.0000 0.9553

0.9599 0.9553 1.0000

9 @- r/ a3 A: \

2、数据预处理

在MATLAB中遇到超出范围的数据时均用NaN (非数值) 表示，而且在任何运算中，只要包含NaN，就将它传递到结果中，因此在对数据进行分析前，应对数据中出现的NaN作剔除处理。例如：

3 k6 ]0 d& S7 P# h: N

a=[1 2 3;5 NaN 8;7 4 2];

5 J% i! }6 ]1 M! R* j' P! d

sum(a)

ans = 13 NaN 13

! @. e. u3 v; a o1 L

在矢量x中删除NaN元素，可有下列四种方法：

(1)  i=find(~isnan(x))；x=x(i)。

(2)  x=x(find(~isnan(x)))。

(3)  x=x(~isnan(x))。

, h: d- q. Y* o" C! a- g# Q5 G

(4)  x(isnan(x))=[ ]。

' O( C F$ [1 f" Q4 ~5 d( m

在矩阵X中删除NaN所在的行，可输入

% T6 U& S9 D1 s

X(any(isnan(X))，：)=[ ]；

经过这种预处理后的数据，可进行各种分析和统计操作。

3、回归和曲线拟合

& p8 V* D% j7 o" x. n

对给定的数据进行拟合，可采用多项式回归，也可采用其它信号形式的回归，其基本原理是最小二乘法，这一功能实现在MATLAB中显得轻而易举。

* V+ \ P* ?* w

例1：设通过测量得到一组时间t与变量y的数据：

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

# F& t( e1 M9 H3 z$ j

y=[0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.40];

7 T7 q1 v( [! z7 I

进行回归，可得到两种不同的结果。MATLAB程序如下：

* h: L: { a; \7 b4 t

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

" P& H! h# o1 Q1 R( Y

y=[.5 .82 1.14 1.25 1.35 1.40];

X1=[ones(size(t)) t t.^2];

a=X1\y;

" X0 Z* z& ~# ~; s5 Q

X2=[ones(size(t)) exp(–t) t.*exp(–t)];

b=X2\y;

4 ]" o; Y$ |: Z# q9 h

T=[0:.1:2.5];

' {9 a- c' h/ q3 I5 t- z/ Z

Y1=[ones(size(T)) T T.^2]*a;

Y2=[ones(size(T)) exp(-T) T.*exp(-T)]*b;

figure(1)

% l" T) h2 `% S9 U( |; J. J

subplot(1,2,1)

* H& R7 Z7 K: g$ g" B- h

plot(T,Y1,-,t,y,o),grid on

6 X1 a) z+ \6 t7 v: I

title(多项式回归)

. H+ n* `! ~( }4 }7 q5 O6 _" c! J

subplot(1,2,2)

plot(T,Y2,-,t,y,o),grid on

title(指数函数回归)

2 [2 w) d0 ]/ G& t

例2 已知变量y与x1，x2有关，测得一组数据为

3 X+ j! ^. j1 K5 N" e. Y: G

　　x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1 ];

　　x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4 ];

　　y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

采用来拟合，则有

x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1];

6 E2 J$ L% F6 i0 A

x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4];

y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

X=[ones(size(x1)) x1 x2];

a=X\y

a = 0.1018 0.4844 −0.2847

* }( @, Y0 E' I* j/ M+ ]7 n

因此数据的拟合模型为

* j# q( X) A ^7 j7 Z- N; ?% i5 f

y=0.1018+0.4844x1−0.2487x2

4、傅里叶分析与FFT

9 g$ w( u1 N7 h2 `9 W6 n

利用MATLAB提供的FFT函数可方便地计算出信号的傅里叶变换，从而在频域上对信号进行分析。

例1 ：混合频率信号成分分析。有一信号x由三种不同频率的正弦信号混合而成，通过得到信号的DFT，确定出信号的频率及其强度关系，程序如下：

t=0:1/119:1;

' t0 y: h& `' |0 a6 o

x=5*sin(2*pi*20*t)+3*sin(2*pi*30*t)+sin(2*pi*45*t);

y=fft(x);

m=abs(y);

5 y1 a" n) t# D1 w. T4 w% B' B, x

f=(0:length(y) -1)*119/length(y);

figure(1)

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

1 O# f5 {" i& `; A. d

title(多频率混合信号)

& n8 P& b9 L, e5 r' m2 v

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

subplot(2,1,2),plot(f,m)

. K( b9 c& J5 j2 a

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

/ `4 j: I; c; @( _

xlabel(Frequency (Hertz))

0 T4 d/ _, v$ Y1 ^

例2 ：信号在传输过程中，由于受信道或环境影响，在接收端得到的是噪声环境下的信号。我们利用FFT函数对这一信号进行傅里叶分析，从而确定信号的频率，程序如下：

t=0:1/199:1;

) z f N3 ^/ Z5 r3 U4 l) C

x=sin(2*pi*50*t)+1.2*randn(size(t)); ％噪声中的信号

y=fft(x);

# W, }& a8 r( X7 j7 Y6 q3 S* f5 Y9 u

m=abs(y);

5 j. L4 v- M. {# Z! J

f=(0:length(y) -1)*199/length(y);

0 b0 n+ n( n' U, S1 Y& F5 ^( x6 W

figure(1)

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

title(信号检测)

" A1 x" d/ h8 H

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

subplot(2,1,2),plot(f,m)

8 W2 ^2 i ~. g

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

xlabel(Frequency (Hertz))

& G; o2 ^3 W1 P5 y; T

例3 ：天文学家记录了300年来太阳黑子的活动情况，我们对这组数据进行傅里叶分析，从而得出太阳黑子的活动周期。MATLAB程序如下：

7 C4 B9 f7 x/ `( H5 @6 t8 d2 l

load sunspot.dat

year=sunspot(:,1);

: ?& b) N/ s5 u5 K% R, z$ ~; @

wolfer=sunspot(:,2);

figure(1)

subplot(2,1,1)

& \) p0 E9 W3 o5 D8 j

plot(year,wolfer)

5 X- R1 V( f% h1 `0 e0 a' J& s

title(原始数据)

; G$ S3 b+ t$ v1 ?9 ~8 F

Y=fft(wolfer);

( \4 S# }$ [; ]& j

N=length(Y);

0 b, F. S/ _7 R* v6 b5 F

Y(1)=[];

power=abs(Y(1:N/2)).^2;

nyquist=1/2;

freq=(1:N/2)/(N/2)*nyquist;

period=1./freq;

, o/ e# m$ @7 l V/ d% e

subplot(2,1,2)

* V. ]% Z2 B; M. i* Z+ j. j9 a0 E

plot(period,power)

; ~- ]3 Q& R6 R+ e

title(功率谱), grid on

axis([0 40 0 2e7])

$ W( v- ?3 A% n0 v/ t0 y9 m

- F a& G0 G j* U

各位读者朋友，感谢您的阅读，您若对工程应用中的数学问题感兴趣，欢迎关注我，愿我们一起讨论和成长！！！

, Z& e; k% |. e# P" N* q9 T0 W