MATLAB应用——数据分析与统计

+ q" v2 U; b6 _4 o6 s# h

数学建模是用数学方法解决各种实际问题的桥梁，它已经渗透到各个领域，而且发挥出越来越重要的作用。面对自然科学和工程应用中的难题，大部分人无从入手，而个别人却能短时间内给出切实可行的解决方案，其差别往往在于驾驭数学知识的能力不同。现代计算机技术的应用不仅减少了计算错误，而且加强了数学应用者解决问题的能力。MATLAB是一款常用的数据处理软件，为了更好的应用MATLAB软件，我将整理好的MATLAB函数分享到今日头条上，以利己利人查阅。

MATLAB提供的很多数据分析与统计函数都是面向列的，即矩阵中的每一列代表一个变量的多个观测值，其列数对应于变量数，行数对应于测量点数。

max和min函数可求出数据的最大值和最小值，mean和std函数可求出数据的均值和标准差，sum和prod函数可求出数据元素和与数据元素积。例如，对MATLAB内含的某城市24小时的车流量数据count.dat可作分析：

load count.dat

$ r, l% R6 X& U( |0 d( r

mx=max(count)

# z- y% V% c+ t! e

mx = 114 145 257

( N4 @" z; K3 B4 ?9 c& o! d$ V: P: A

mu=mean(count)

mu = 32.0000 46.5417 65.5833

sigma=std(count)

" @( F8 R5 \( W

sigma = 25.3703 41.4057 68.0281

3 Z" O& k! S2 {% `' _5 c

对有些函数还可给出位置，例如，在求出最小值的同时，可得到最小值所在的位置(行号)：

; q3 o1 L- V2 c

[mx,indx]=min(count)

, L" ?) x. }# o/ t* h

mx = 7 9 7

" s" t2 U# D& I% W

indx = 2 23 24

1、协方差和相关系数

# r( g* o' ~8 h9 b4 f# r6 O$ v

cov函数可以求出单个变量的协方差，而corrcoef函数可求出两个变量之间的相关系数，例如：

cv=cov(count)

cv = 1.0e+003 *

4 |- C% G$ C4 _( m5 b% L ?

0.6437 0.9802 1.6567

# S P$ q: f! _1 F6 k, d

0.9802 1.7144 2.6908

1.6567 2.6908 4.6278

cr=corrcoef(count)

cr =

1 G3 c: v# k. i) t6 f

1.0000 0.9331 0.9599

0.9331 1.0000 0.9553

0 V/ t; o* M+ b

0.9599 0.9553 1.0000

2、数据预处理

在MATLAB中遇到超出范围的数据时均用NaN (非数值) 表示，而且在任何运算中，只要包含NaN，就将它传递到结果中，因此在对数据进行分析前，应对数据中出现的NaN作剔除处理。例如：

a=[1 2 3;5 NaN 8;7 4 2];

sum(a)

1 U# m/ b) R- R) \( u

ans = 13 NaN 13

在矢量x中删除NaN元素，可有下列四种方法：

+ W5 a+ D8 G( F: w

(1)  i=find(~isnan(x))；x=x(i)。

(2)  x=x(find(~isnan(x)))。

3 i: @, s- s+ v; K( i: t: S- x

(3)  x=x(~isnan(x))。

(4)  x(isnan(x))=[ ]。

5 b5 y6 i) ]0 _. u: U

在矩阵X中删除NaN所在的行，可输入

X(any(isnan(X))，：)=[ ]；

, Z9 X7 z u N0 r( i$ [

经过这种预处理后的数据，可进行各种分析和统计操作。

8 v+ m" R! C8 W% R" ?

3、回归和曲线拟合

对给定的数据进行拟合，可采用多项式回归，也可采用其它信号形式的回归，其基本原理是最小二乘法，这一功能实现在MATLAB中显得轻而易举。

例1：设通过测量得到一组时间t与变量y的数据：

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

y=[0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.40];

进行回归，可得到两种不同的结果。MATLAB程序如下：

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

. m" Y) T6 t/ u

y=[.5 .82 1.14 1.25 1.35 1.40];

X1=[ones(size(t)) t t.^2];

a=X1\y;

X2=[ones(size(t)) exp(–t) t.*exp(–t)];

# e/ V) X0 c% Z7 }4 O

b=X2\y;

T=[0:.1:2.5];

: \0 Q( X/ Y% V5 x2 u7 z, U* l+ V3 V

Y1=[ones(size(T)) T T.^2]*a;

" x$ Y* {5 v. ~* x. r, V+ Q

Y2=[ones(size(T)) exp(-T) T.*exp(-T)]*b;

figure(1)

subplot(1,2,1)

# P! g$ c0 W5 t, \" k7 K0 w' u0 K

plot(T,Y1,-,t,y,o),grid on

title(多项式回归)

subplot(1,2,2)

6 k( B2 w7 \1 m

plot(T,Y2,-,t,y,o),grid on

title(指数函数回归)

. w3 t' X" q% t

例2 已知变量y与x1，x2有关，测得一组数据为

　　x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1 ];

　　x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4 ];

' o& `# n2 W2 b- b! T

　　y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

+ b" S. s, D$ W, I8 g7 Z

采用来拟合，则有

x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1];

x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4];

" V3 G2 u+ R: K0 [

y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

! l+ r6 o' ^+ o; s/ D

X=[ones(size(x1)) x1 x2];

9 n) y; C% C7 g

a=X\y

3 k& w% L' [- o8 g( v" b

a = 0.1018 0.4844 −0.2847

因此数据的拟合模型为

y=0.1018+0.4844x1−0.2487x2

4、傅里叶分析与FFT

利用MATLAB提供的FFT函数可方便地计算出信号的傅里叶变换，从而在频域上对信号进行分析。

例1 ：混合频率信号成分分析。有一信号x由三种不同频率的正弦信号混合而成，通过得到信号的DFT，确定出信号的频率及其强度关系，程序如下：

t=0:1/119:1;

7 A+ p o% e m5 ~

x=5*sin(2*pi*20*t)+3*sin(2*pi*30*t)+sin(2*pi*45*t);

" W6 T# G6 J% p( R. H

y=fft(x);

0 Z, I- A+ r4 J) J7 ~

m=abs(y);

f=(0:length(y) -1)*119/length(y);

figure(1)

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

title(多频率混合信号)

% L& N+ \/ H, q

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

0 n- Y& g. ]$ \! c9 r# f. m

subplot(2,1,2),plot(f,m)

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

* J- K& x% e' {2 `- W" T( Y+ L9 d

xlabel(Frequency (Hertz))

例2 ：信号在传输过程中，由于受信道或环境影响，在接收端得到的是噪声环境下的信号。我们利用FFT函数对这一信号进行傅里叶分析，从而确定信号的频率，程序如下：

! v k/ q) Z$ q& }( D" G+ z

t=0:1/199:1;

- D/ S( r6 {3 K% C& U" _

x=sin(2*pi*50*t)+1.2*randn(size(t)); ％噪声中的信号

$ g( p& H; L& E' { E3 {3 m* r

y=fft(x);

m=abs(y);

1 P3 y7 z$ L; q a$ W# h

f=(0:length(y) -1)*199/length(y);

figure(1)

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

title(信号检测)

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

3 k' U, @4 z0 V) n& ^' T& C" w

subplot(2,1,2),plot(f,m)

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

xlabel(Frequency (Hertz))

例3 ：天文学家记录了300年来太阳黑子的活动情况，我们对这组数据进行傅里叶分析，从而得出太阳黑子的活动周期。MATLAB程序如下：

8 p" ^, P- M7 E) ^) e* m" f! j

load sunspot.dat

, \; \$ p4 f, j. a- J

year=sunspot(:,1);

wolfer=sunspot(:,2);

$ {9 K2 S, b: L( ~- o

figure(1)

subplot(2,1,1)

2 \7 c% J F, S, N h1 f6 Z

plot(year,wolfer)

title(原始数据)

Y=fft(wolfer);

N=length(Y);

Y(1)=[];

+ c$ Z" v( l# Y! W6 O8 F

power=abs(Y(1:N/2)).^2;

nyquist=1/2;

freq=(1:N/2)/(N/2)*nyquist;

( z$ B; s- F0 P8 j, j( G: o

period=1./freq;

subplot(2,1,2)

plot(period,power)

! B/ s3 ^6 c+ A. {4 {# W) b- s

title(功率谱), grid on

axis([0 40 0 2e7])

各位读者朋友，感谢您的阅读，您若对工程应用中的数学问题感兴趣，欢迎关注我，愿我们一起讨论和成长！！！

4 S8 F& B- D: g1 e+ g * A" A6 i9 }; ?7 V9 Q