MATLAB应用——数据分析与统计

/ D( g' b7 b% w/ ?4 t/ P

数学建模是用数学方法解决各种实际问题的桥梁，它已经渗透到各个领域，而且发挥出越来越重要的作用。面对自然科学和工程应用中的难题，大部分人无从入手，而个别人却能短时间内给出切实可行的解决方案，其差别往往在于驾驭数学知识的能力不同。现代计算机技术的应用不仅减少了计算错误，而且加强了数学应用者解决问题的能力。MATLAB是一款常用的数据处理软件，为了更好的应用MATLAB软件，我将整理好的MATLAB函数分享到今日头条上，以利己利人查阅。

MATLAB提供的很多数据分析与统计函数都是面向列的，即矩阵中的每一列代表一个变量的多个观测值，其列数对应于变量数，行数对应于测量点数。

4 D, U$ v. z' b& z1 u3 Q+ S

max和min函数可求出数据的最大值和最小值，mean和std函数可求出数据的均值和标准差，sum和prod函数可求出数据元素和与数据元素积。例如，对MATLAB内含的某城市24小时的车流量数据count.dat可作分析：

# z4 B; \. P+ C$ s+ S; t; f1 H4 S

load count.dat

mx=max(count)

c, R% `9 U. E6 ^6 o/ s+ C

mx = 114 145 257

' I1 E( u7 f' u3 i. i2 Q5 v' N

mu=mean(count)

mu = 32.0000 46.5417 65.5833

3 A8 f3 |4 Z5 ], j

sigma=std(count)

9 P8 Q. ?$ M m- ?+ d" |& ^

sigma = 25.3703 41.4057 68.0281

对有些函数还可给出位置，例如，在求出最小值的同时，可得到最小值所在的位置(行号)：

7 r5 |# u7 Z; t6 ^

[mx,indx]=min(count)

9 e3 v: n5 O- P" C* K+ S

mx = 7 9 7

1 ?* q0 j7 u/ w) D* J

indx = 2 23 24

1、协方差和相关系数

cov函数可以求出单个变量的协方差，而corrcoef函数可求出两个变量之间的相关系数，例如：

cv=cov(count)

- P7 c, |/ ~3 e

cv = 1.0e+003 *

0.6437 0.9802 1.6567

( w. N9 ~6 m" ?& Y! _( Y. X

0.9802 1.7144 2.6908

1.6567 2.6908 4.6278

* i9 g: w- p( E0 G$ ]% M0 p. d

cr=corrcoef(count)

cr =

1.0000 0.9331 0.9599

0.9331 1.0000 0.9553

0.9599 0.9553 1.0000

. O( e% I9 a' H+ e* b2 Y# R: T

2、数据预处理

9 T) g/ c2 h; D* u2 }& Q

在MATLAB中遇到超出范围的数据时均用NaN (非数值) 表示，而且在任何运算中，只要包含NaN，就将它传递到结果中，因此在对数据进行分析前，应对数据中出现的NaN作剔除处理。例如：

a=[1 2 3;5 NaN 8;7 4 2];

sum(a)

& @% S' x7 G; w" e2 Z. @4 W

ans = 13 NaN 13

在矢量x中删除NaN元素，可有下列四种方法：

# p; p4 J' a0 J

(1)  i=find(~isnan(x))；x=x(i)。

(2)  x=x(find(~isnan(x)))。

5 _+ k. j/ [! Z! l# M+ p8 Z

(3)  x=x(~isnan(x))。

(4)  x(isnan(x))=[ ]。

在矩阵X中删除NaN所在的行，可输入

X(any(isnan(X))，：)=[ ]；

经过这种预处理后的数据，可进行各种分析和统计操作。

3、回归和曲线拟合

& u/ i o/ N, ~* l( {, }

对给定的数据进行拟合，可采用多项式回归，也可采用其它信号形式的回归，其基本原理是最小二乘法，这一功能实现在MATLAB中显得轻而易举。

& ~ [( R7 u) k

例1：设通过测量得到一组时间t与变量y的数据：

6 p7 u/ m, B; O7 W

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

, y1 c3 f. U* s/ i1 C, R

y=[0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.40];

8 F. j' Y9 K2 M& w g5 o

进行回归，可得到两种不同的结果。MATLAB程序如下：

3 I/ L8 N* }3 w

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

y=[.5 .82 1.14 1.25 1.35 1.40];

" X x6 }- A$ T

X1=[ones(size(t)) t t.^2];

8 L* G3 v8 F+ F& e, H8 ~' R

a=X1\y;

X2=[ones(size(t)) exp(–t) t.*exp(–t)];

b=X2\y;

T=[0:.1:2.5];

Y1=[ones(size(T)) T T.^2]*a;

( |/ Z C7 I9 W3 R" {

Y2=[ones(size(T)) exp(-T) T.*exp(-T)]*b;

figure(1)

6 b% ?/ A+ a8 d: p

subplot(1,2,1)

, h+ C9 Y$ [5 y4 F

plot(T,Y1,-,t,y,o),grid on

title(多项式回归)

subplot(1,2,2)

9 e! O' [. G& \8 v4 O- J' d( Q

plot(T,Y2,-,t,y,o),grid on

. y8 a: p# J, Z' D2 J! ?

title(指数函数回归)

b0 n& x4 c* S* F. q$ d% T' q/ A

例2 已知变量y与x1，x2有关，测得一组数据为

　　x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1 ];

　　x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4 ];

w8 |8 q6 [2 ~

　　y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

采用来拟合，则有

: L6 d- S4 |$ }; E' ~

x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1];

x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4];

y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

) r: S$ F; a6 ]- _9 \' m. V, [

X=[ones(size(x1)) x1 x2];

a=X\y

a = 0.1018 0.4844 −0.2847

因此数据的拟合模型为

y=0.1018+0.4844x1−0.2487x2

4、傅里叶分析与FFT

利用MATLAB提供的FFT函数可方便地计算出信号的傅里叶变换，从而在频域上对信号进行分析。

例1 ：混合频率信号成分分析。有一信号x由三种不同频率的正弦信号混合而成，通过得到信号的DFT，确定出信号的频率及其强度关系，程序如下：

" B4 M/ C) Z* U

t=0:1/119:1;

x=5*sin(2*pi*20*t)+3*sin(2*pi*30*t)+sin(2*pi*45*t);

% o# }+ W5 M2 P3 k( q% `0 p

y=fft(x);

m=abs(y);

! o& w2 K! k7 Z4 J

f=(0:length(y) -1)*119/length(y);

figure(1)

2 o3 r# t5 b: `2 r4 P

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

title(多频率混合信号)

" J7 d# s0 x2 z. [7 Q2 G) m: Z

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

; |, f1 O( F( g; x0 \6 S

subplot(2,1,2),plot(f,m)

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

xlabel(Frequency (Hertz))

) L$ D4 W @+ j2 P1 {

例2 ：信号在传输过程中，由于受信道或环境影响，在接收端得到的是噪声环境下的信号。我们利用FFT函数对这一信号进行傅里叶分析，从而确定信号的频率，程序如下：

* i8 w( i2 b& a6 X( p$ o

t=0:1/199:1;

x=sin(2*pi*50*t)+1.2*randn(size(t)); ％噪声中的信号

0 G; X9 [* C! k" R

y=fft(x);

m=abs(y);

& O, e- ~' s7 I" s: { r9 Q6 \

f=(0:length(y) -1)*199/length(y);

figure(1)

/ A! ~# V; M9 c

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

- ^# P2 T6 Y9 N" E' O

title(信号检测)

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

0 L4 w' {7 a6 B0 ~

subplot(2,1,2),plot(f,m)

4 Y, C) Q) [) z7 N2 u& }

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

/ s8 w3 L+ T Q9 j B8 B

xlabel(Frequency (Hertz))

+ ? q+ m" W5 l6 K* k! p7 o

5 L3 o4 q* T2 E+ n3 r

例3 ：天文学家记录了300年来太阳黑子的活动情况，我们对这组数据进行傅里叶分析，从而得出太阳黑子的活动周期。MATLAB程序如下：

" G1 u$ L. V, K! Y

load sunspot.dat

) P' i6 z4 L8 j' x. @

year=sunspot(:,1);

% U. _7 P. `( @; F8 Q5 D( }. Z! o9 ]

wolfer=sunspot(:,2);

* k, U/ z% U7 c: }& G5 N

figure(1)

subplot(2,1,1)

1 h9 O9 N+ k) u. \0 b0 M& m4 O" L

plot(year,wolfer)

title(原始数据)

Y=fft(wolfer);

N=length(Y);

Y(1)=[];

power=abs(Y(1:N/2)).^2;

nyquist=1/2;

4 q' b" d6 P( S+ a" m$ }4 \5 N

freq=(1:N/2)/(N/2)*nyquist;

' A) D9 G, P1 B! C5 A0 U! I. D9 I

period=1./freq;

subplot(2,1,2)

plot(period,power)

. v2 W8 n. e8 _

title(功率谱), grid on

axis([0 40 0 2e7])

各位读者朋友，感谢您的阅读，您若对工程应用中的数学问题感兴趣，欢迎关注我，愿我们一起讨论和成长！！！

' q" H, l& u2 Y1 Y2 G ( Z/ [- z2 b* C / n! r' \4 C" B; ?6 I % m, X8 k" R- I, u" ?