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: P# n x/ b* J$ [
. A; n% G0 C( t* C$ W `/ P1 R
数学建模是用数学方法解决各种实际问题的桥梁,它已经渗透到各个领域,而且发挥出越来越重要的作用。面对自然科学和工程应用中的难题,大部分人无从入手,而个别人却能短时间内给出切实可行的解决方案,其差别往往在于驾驭数学知识的能力不同。现代计算机技术的应用不仅减少了计算错误,而且加强了数学应用者解决问题的能力。MATLAB是一款常用的数据处理软件,为了更好的应用MATLAB软件,我将整理好的MATLAB函数分享到今日头条上,以利己利人查阅。
# a6 I; o4 r$ {# N% Q MATLAB提供的很多数据分析与统计函数都是面向列的,即矩阵中的每一列代表一个变量的多个观测值,其列数对应于变量数,行数对应于测量点数。
# v' ]7 W; F2 V& t" I8 p max和min函数可求出数据的最大值和最小值,mean和std函数可求出数据的均值和标准差,sum和prod函数可求出数据元素和与数据元素积。例如,对MATLAB内含的某城市24小时的车流量数据count.dat可作分析:
9 Q0 ^5 h: u+ L( `8 ]- h2 M( d load count.dat + Z0 B7 d0 o% A: z' R3 w ?
mx=max(count)
, l; E4 {. Q5 i$ J mx = 114 145 257 r: x8 P d- h$ ?- j' d! L. @
mu=mean(count) . u# B2 m5 I% A8 G1 Y0 ~
mu = 32.0000 46.5417 65.5833 + x* t$ q+ B6 p! J, a, m+ D- |4 A
sigma=std(count) ) Q' Z6 K. O: x9 ]( ^2 V2 Q
sigma = 25.3703 41.4057 68.0281
. p( r& [- F) h3 g* t& n k 对有些函数还可给出位置,例如,在求出最小值的同时,可得到最小值所在的位置(行号):
7 V$ y9 R$ Q2 k! K' ]% s [mx,indx]=min(count)
4 G# R; T, Z5 E& U mx = 7 9 7
) r6 a+ e" \* O4 N1 F. B indx = 2 23 24 8 u' p* @1 p$ Q4 `4 |* U. A5 W( i
1、协方差和相关系数
, Z% U7 T1 i' K1 b* x cov函数可以求出单个变量的协方差,而corrcoef函数可求出两个变量之间的相关系数,例如:
$ F7 ?# V! ^+ ]* Q# q* v cv=cov(count) 3 D7 R5 A& c! R$ n
cv = 1.0e+003 *
6 N. n# C" X, Z. Q5 p! x0 y7 h 0.6437 0.9802 1.6567 ; X! N5 y9 v) {% U5 C' a4 @% S2 x
0.9802 1.7144 2.6908 6 e) H: ?* j! i9 ?9 b( }/ r' w
1.6567 2.6908 4.6278 & o: _( A% M% Q' k2 ^
cr=corrcoef(count)
1 l( g% N& K- U5 O C cr =
; U" u. P6 L* x1 k. Q 1.0000 0.9331 0.9599
9 t" [- G! j5 B6 e- w 0.9331 1.0000 0.9553
@: W* b. N, Y* F6 F0 b) e) Z. K 0.9599 0.9553 1.0000
* k3 ~% N& I& |$ }4 |/ t( ? ^: W 2、数据预处理 - u: @" t& p% a9 H
在MATLAB中遇到超出范围的数据时均用NaN (非数值) 表示,而且在任何运算中,只要包含NaN,就将它传递到结果中,因此在对数据进行分析前,应对数据中出现的NaN作剔除处理。例如:
6 f" s/ Z2 |% |: x% U8 N a=[1 2 3;5 NaN 8;7 4 2]; ( h0 s \' v% W' A& ^6 H
sum(a) ; K: p# ]2 X5 |( X0 P
ans = 13 NaN 13
3 P9 m4 { h, b4 { 在矢量x中删除NaN元素,可有下列四种方法: & v( T/ {9 ]$ h( O9 s+ V) z
(1) i=find(~isnan(x));x=x(i)。
' f4 J3 V! d3 m4 K6 o4 c( B5 k (2) x=x(find(~isnan(x)))。 % P6 A3 o2 W6 B. b1 O3 G) b
(3) x=x(~isnan(x))。 ' j: T& }" O5 r2 N
(4) x(isnan(x))=[ ]。 6 a$ p" X$ q) b- d+ V6 l, q
在矩阵X中删除NaN所在的行,可输入 : l* b9 @, {$ z, {# j
X(any(isnan(X)),:)=[ ];
1 g5 Q% e5 z; g5 o2 i: d, _) b 经过这种预处理后的数据,可进行各种分析和统计操作。
% l5 j# ?4 S4 M, j! K6 K4 `: m 3、回归和曲线拟合
. O$ Q9 O" U& U 对给定的数据进行拟合,可采用多项式回归,也可采用其它信号形式的回归,其基本原理是最小二乘法,这一功能实现在MATLAB中显得轻而易举。
/ S5 a+ k/ K; d: ` 例1:设通过测量得到一组时间t与变量y的数据:
5 X) v u% B# ?& M% \+ K" G+ h t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3]; 9 { t# G* [. J I
y=[0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.40]; & y- ^2 B4 B8 g2 G$ B
4 H2 o O& [5 P5 }6 F
进行回归,可得到两种不同的结果。MATLAB程序如下: " R7 q/ V' F# U( |4 A. [; ^8 o4 C
t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3]; ( g5 R( @7 ^ ~5 L4 S3 K% w
y=[.5 .82 1.14 1.25 1.35 1.40];
- z; t8 C; E* ?( j X1=[ones(size(t)) t t.^2];
" S: @$ k7 A. t" A3 N% m: v9 w: Y a=X1\y; ; T% A7 e) ?3 G3 t
X2=[ones(size(t)) exp(–t) t.*exp(–t)]; * p3 M7 G, J3 r% g
b=X2\y; # h- T0 j' V; a+ j9 [- u: y
T=[0:.1:2.5];
) W- x' r6 A h" l4 J) Z Y1=[ones(size(T)) T T.^2]*a; 5 A/ Y; d/ d* L5 F( m& n8 M
Y2=[ones(size(T)) exp(-T) T.*exp(-T)]*b;
. x; u. J' X( Q9 e3 {; e figure(1) + u. y3 r8 d" W" m+ j7 ?/ R* F9 v& F
subplot(1,2,1)
0 z* k3 J: n8 @9 g; _8 r( F3 U+ A plot(T,Y1,-,t,y,o),grid on
0 r4 }" ?0 t0 }3 i% O title(多项式回归)
" [: B! ]" X9 B7 m" M( f3 s. S+ } subplot(1,2,2)
" x: x% O. z4 \$ L& Y3 J plot(T,Y2,-,t,y,o),grid on # C0 \* h9 y) I
title(指数函数回归) 3 P( l7 d. g8 d7 W- q
/ ?" E% e; s2 ^" Q h( U8 E 例2 已知变量y与x1,x2有关,测得一组数据为 2 R- o3 h3 @8 D, E" _3 t2 @
x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1 ]; " b$ D& ~3 J9 B; f
x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4 ];
1 u6 {* o: `, z7 B y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24]; % G1 M4 s t' v/ b8 T6 |$ q* W
采用来拟合,则有
. E* }( o \ O x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1]; 3 f( {4 @7 k, z; ]5 S
x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4]; # G) v T: e6 {
y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];
6 j: ], n. N& A4 F9 a! n B' M X=[ones(size(x1)) x1 x2];
1 @6 l/ r W/ C a=X\y + U4 ^5 P( ?- ^8 c7 h) W2 k9 L9 M4 [
a = 0.1018 0.4844 −0.2847
- ]1 M& `8 \( i. }. Z& G) C& d 因此数据的拟合模型为 " Q' s2 o- b4 V( f! U% a
y=0.1018+0.4844x1−0.2487x2 ( V: g) K8 J$ s0 F; ?/ _8 ~4 X
4、傅里叶分析与FFT 8 R( [9 ]# a& u2 z+ I. u" C; z
利用MATLAB提供的FFT函数可方便地计算出信号的傅里叶变换,从而在频域上对信号进行分析。 5 x5 t2 t8 d, u$ S9 C
例1 :混合频率信号成分分析。有一信号x由三种不同频率的正弦信号混合而成,通过得到信号的DFT,确定出信号的频率及其强度关系,程序如下: * l4 q K7 a* W6 J# U4 Z% `( j
t=0:1/119:1;
: V! N+ ?2 x7 P: Y c x=5*sin(2*pi*20*t)+3*sin(2*pi*30*t)+sin(2*pi*45*t);
& c' k" f7 U$ J, f8 D2 ` `* |$ i y=fft(x);
N+ r/ {" h% O2 L m=abs(y); ' u6 t; J2 i1 ^. m% Y* V
f=(0:length(y) -1)*119/length(y); * m$ B, X& v: ^6 g+ L9 ?4 b
figure(1)
" Q& l* T) w9 D: `/ M subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on
: ` P7 R$ |: _1 s3 r0 ] title(多频率混合信号)
4 _! F4 r% w" K) w ylabel(Input \itx),xlabel(Time )
v- h) |; j" S& v7 |/ X3 |5 l1 o subplot(2,1,2),plot(f,m) $ @4 M6 M- E+ Y) E
ylabel(Abs. Magnitude),grid on 1 X1 b, h/ c1 B
xlabel(Frequency (Hertz)) 1 n4 \1 U2 z4 @# S# x% B
! c' ~+ _( @( |1 d) ^
例2 :信号在传输过程中,由于受信道或环境影响,在接收端得到的是噪声环境下的信号。我们利用FFT函数对这一信号进行傅里叶分析,从而确定信号的频率,程序如下:
+ }; j: F+ h; k; q t=0:1/199:1; ! U. y5 x6 A& r$ D# ]1 [
x=sin(2*pi*50*t)+1.2*randn(size(t)); %噪声中的信号 : {5 _! E2 g6 p) a* P* A& D9 E
y=fft(x);
5 Q/ {+ s$ ?# Z+ V2 }. s; y6 T+ ^ m=abs(y); 5 ^# S4 ?; }7 E/ t$ E
f=(0:length(y) -1)*199/length(y);
: f5 y5 p7 M; S% Y figure(1) 7 Y. k' a3 A$ }9 l7 f; Z7 _4 v
subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on
$ l0 R- c. ~ R& H; A title(信号检测)
' {" N! i4 r+ r' R7 `; r: H ylabel(Input \itx),xlabel(Time )
9 R: a4 ^/ Z- a& n0 E. g3 K; B+ d subplot(2,1,2),plot(f,m)
, R7 P- Z- G/ m4 X/ h ylabel(Abs. Magnitude),grid on ; f. E8 i$ I6 L: i) Y+ {
xlabel(Frequency (Hertz))
) P) C: N+ H! D9 u
7 L% {3 W/ {1 j 例3 :天文学家记录了300年来太阳黑子的活动情况,我们对这组数据进行傅里叶分析,从而得出太阳黑子的活动周期。MATLAB程序如下: / ~9 A% O+ {& ]3 `7 A# m6 e' ?1 U% ?
load sunspot.dat 1 _; x, f4 L6 R8 H2 I6 n( ~
year=sunspot(:,1);
6 X) x! B- r* A. A- ~/ a wolfer=sunspot(:,2);
7 g5 }; q: B A! O figure(1)
, B/ Q& J" v; Q. j8 B subplot(2,1,1)
7 r e- u* w8 u8 @7 ~ r ~ plot(year,wolfer)
2 i4 e5 Q) B& Q title(原始数据) 6 X" ?+ B# m# ^- S6 ]
Y=fft(wolfer);
6 d$ t3 }7 N+ n4 n' r- ?7 ^0 x+ r N=length(Y); " D2 K2 I7 Y" t
Y(1)=[];
; R. f5 \7 D" m* M power=abs(Y(1:N/2)).^2; 5 ~& X$ ]2 L, E1 H8 h. ~8 Q$ o
nyquist=1/2; " e B! z3 e9 s
freq=(1:N/2)/(N/2)*nyquist;
$ p/ H1 ~/ B0 O' S5 v0 m period=1./freq;
. V6 }2 {; Q# ~4 D! U subplot(2,1,2)
0 o$ t( _8 a( G9 H plot(period,power)
7 n5 ]- ^+ K: m! e' \ title(功率谱), grid on 7 ?- f/ }1 v0 e/ ?0 _
axis([0 40 0 2e7]) 1 b1 B( f8 Y! Z7 Y
) A/ j3 ?, @! C7 O4 G* n9 t
各位读者朋友,感谢您的阅读,您若对工程应用中的数学问题感兴趣,欢迎关注我,愿我们一起讨论和成长!!!
! l1 G8 [3 x( E5 f- j6 o& Q' Z+ c: O1 S# ~. v- l- U
. P* `' ~6 I8 @6 I$ O: F1 M: G
4 _: R# z% ^! N
( T K! f* F8 k d4 U |