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6 n3 x# G% q; j' r
U! ^' M& {& \6 P1 Y- B; V7 U& E
数学建模是用数学方法解决各种实际问题的桥梁,它已经渗透到各个领域,而且发挥出越来越重要的作用。面对自然科学和工程应用中的难题,大部分人无从入手,而个别人却能短时间内给出切实可行的解决方案,其差别往往在于驾驭数学知识的能力不同。现代计算机技术的应用不仅减少了计算错误,而且加强了数学应用者解决问题的能力。MATLAB是一款常用的数据处理软件,为了更好的应用MATLAB软件,我将整理好的MATLAB函数分享到今日头条上,以利己利人查阅。 " F0 S" P. K( G+ W, H" y7 S
MATLAB提供的很多数据分析与统计函数都是面向列的,即矩阵中的每一列代表一个变量的多个观测值,其列数对应于变量数,行数对应于测量点数。
& q, n, ^- Q6 B7 N& N. Y( h1 E/ W max和min函数可求出数据的最大值和最小值,mean和std函数可求出数据的均值和标准差,sum和prod函数可求出数据元素和与数据元素积。例如,对MATLAB内含的某城市24小时的车流量数据count.dat可作分析: 5 b* w6 k: s) Y" L* u1 z& m' v' P9 n/ d
load count.dat
% P. ^) b- Q: l1 |8 E W# ^ mx=max(count) . x: e) D: x8 R
mx = 114 145 257 3 h, H, J6 b/ m" g# m: m1 r7 V
mu=mean(count)
/ o" X( c: L8 c- X# J9 Y6 d+ o% Y mu = 32.0000 46.5417 65.5833
. i! E: T+ k* M' L0 L! l6 p- j* Q sigma=std(count)
: B1 y' A4 D' g& s, U) @5 z sigma = 25.3703 41.4057 68.0281
. D5 x9 C3 \$ L, C& n. a 对有些函数还可给出位置,例如,在求出最小值的同时,可得到最小值所在的位置(行号): ' S) K" c* l% B4 n
[mx,indx]=min(count)
. G+ c4 O2 {6 Y* a W2 q R1 ^! e; O mx = 7 9 7 ' c( l6 \( ]) U9 W& Y( h! ~5 ^
indx = 2 23 24 ) T9 w- _. m' p4 C! L1 C9 {) e( U# l
1、协方差和相关系数 * x6 `" V9 b. f! `' o
cov函数可以求出单个变量的协方差,而corrcoef函数可求出两个变量之间的相关系数,例如: 3 v. P" z3 V4 W2 o: a4 H' v
cv=cov(count) ( T: a. f& @: r
cv = 1.0e+003 * ) _9 S2 }, v4 l" v! h: k
0.6437 0.9802 1.6567 , U0 @; Y9 w# O: K2 z4 {
0.9802 1.7144 2.6908 ~6 g' y+ X( v+ m+ b# V" [+ v
1.6567 2.6908 4.6278
2 a7 Q1 x9 w. {7 h* {7 E4 Z N4 e7 m cr=corrcoef(count)
0 H$ W+ W3 `, H/ z. N cr = : o) j. F( Z8 h; X( `( g: g) P$ G- D
1.0000 0.9331 0.9599
7 a6 I! g+ O; v: O$ n5 g 0.9331 1.0000 0.9553 - i7 q: l* z: r/ b# K3 t- {
0.9599 0.9553 1.0000 0 D8 s4 ]3 ]! ?9 D
2、数据预处理 3 U+ q% ]5 j& V8 C" L
在MATLAB中遇到超出范围的数据时均用NaN (非数值) 表示,而且在任何运算中,只要包含NaN,就将它传递到结果中,因此在对数据进行分析前,应对数据中出现的NaN作剔除处理。例如:
* }- U, f/ r3 D a=[1 2 3;5 NaN 8;7 4 2]; 1 y0 Q) C9 c, H0 V2 E0 Y! n6 n
sum(a) ' E8 ]& q, b$ J( z( e3 Y
ans = 13 NaN 13 $ M1 O- Y* S8 {5 a+ T5 i+ D2 m
在矢量x中删除NaN元素,可有下列四种方法:
( N- `' a1 i0 l/ J4 } (1) i=find(~isnan(x));x=x(i)。 , G) u4 S# d! r( ?& V2 ^3 j
(2) x=x(find(~isnan(x)))。 % r% A8 L( E/ H {7 f" M8 a5 z: y
(3) x=x(~isnan(x))。 & f2 P. x6 p: ~8 `5 D& A
(4) x(isnan(x))=[ ]。 7 h, O7 F# D& q$ Y% d5 g
在矩阵X中删除NaN所在的行,可输入 6 `7 y7 M1 H* ~& M: _! X
X(any(isnan(X)),:)=[ ]; , G4 d* p* q S! V u R
经过这种预处理后的数据,可进行各种分析和统计操作。
7 ]9 g Z7 N% g, y1 K/ y0 u 3、回归和曲线拟合
& D0 X# S& m& }. }3 U% U! x. P% s 对给定的数据进行拟合,可采用多项式回归,也可采用其它信号形式的回归,其基本原理是最小二乘法,这一功能实现在MATLAB中显得轻而易举。 : D V- Q& Z! n4 A) J
例1:设通过测量得到一组时间t与变量y的数据:
- s: B! ]! A% I% V# W6 G1 h4 p t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];
% q# _* \' C. D9 u- p y=[0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.40]; / ?$ v6 F. V: v' K- U& a- ?
( ^( F* C& {7 u# Q. F
进行回归,可得到两种不同的结果。MATLAB程序如下: $ F2 I8 x8 b# U# i& l
t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];
, G3 V, X8 k' z$ ^- n9 ]. P y=[.5 .82 1.14 1.25 1.35 1.40]; 2 V0 O) G. \3 P* k3 Y+ L
X1=[ones(size(t)) t t.^2]; # h7 E% T) L0 b% H
a=X1\y;
7 Q7 q: |9 J0 `; q- ^& a X2=[ones(size(t)) exp(–t) t.*exp(–t)]; 1 D* `4 K% e4 z2 w: @5 o
b=X2\y; ) K) r: T# b' x8 d& Y4 A& j
T=[0:.1:2.5]; 2 c I( T( A# a' J: U% p8 x6 w
Y1=[ones(size(T)) T T.^2]*a; 0 n4 W+ H' I& K+ z
Y2=[ones(size(T)) exp(-T) T.*exp(-T)]*b;
8 p: W7 m1 S- t/ A$ V6 T0 L! ` figure(1)
. M# H, ?1 y# v4 \1 I" ?; y subplot(1,2,1)
% a8 `# X' T& O" O+ x plot(T,Y1,-,t,y,o),grid on " ?" L! c. V9 R4 _
title(多项式回归) 4 v+ F$ ~0 x& h7 d# C
subplot(1,2,2)
9 e7 g! ]* y/ O k) M' P* r$ G' _ plot(T,Y2,-,t,y,o),grid on
4 L( W$ O2 D7 p# [: ] title(指数函数回归)
' C" z: h/ I) f8 X6 w2 G ; @* M/ O, v2 r1 z0 g
例2 已知变量y与x1,x2有关,测得一组数据为
" d& P3 i7 X" E+ F, ` x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1 ]; , k: X9 P1 G" j- t1 w3 o: V) j2 P
x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4 ];
+ n4 D7 N k7 x) [, [* J- E; | y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24]; 0 B% ~$ O9 Y9 ^
采用来拟合,则有
( [. p8 _) q- \6 i ~1 k x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1]; / t# e6 C: T) j
x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4]; q) i) w6 c% Q) J$ _; \' h$ m9 W# q
y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];
5 i6 l' {- Q- y; G! a$ l X=[ones(size(x1)) x1 x2]; % c1 q: u$ K$ M, J
a=X\y
`+ x5 H3 r7 q, n% j+ D a = 0.1018 0.4844 −0.2847
7 Z: g. y; A& c) L' D c 因此数据的拟合模型为
! O. h2 ]3 I" k" o& @& H { y=0.1018+0.4844x1−0.2487x2 4 k' J: G8 p! R
4、傅里叶分析与FFT + t, R% B9 z3 v! o d
利用MATLAB提供的FFT函数可方便地计算出信号的傅里叶变换,从而在频域上对信号进行分析。
: d1 S; E6 E/ B5 u! k( n- u 例1 :混合频率信号成分分析。有一信号x由三种不同频率的正弦信号混合而成,通过得到信号的DFT,确定出信号的频率及其强度关系,程序如下:
9 [' x! `' n9 T* F2 R( f4 a t=0:1/119:1;
2 a) I4 K, N2 A* L# p+ n* u/ H7 x& A x=5*sin(2*pi*20*t)+3*sin(2*pi*30*t)+sin(2*pi*45*t);
, c8 f2 I$ i4 X5 u9 b: m y=fft(x);
2 f7 D& F% K2 r m=abs(y);
p: x: x, |0 j2 y# e0 U' U f=(0:length(y) -1)*119/length(y); : {& k4 v2 N7 s4 h! w6 S
figure(1)
/ W- B% s( F: Z( V subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on
9 ~6 L: ]) a5 H5 Z title(多频率混合信号) % p/ H x% M3 ^* a
ylabel(Input \itx),xlabel(Time ) : z" ^' P( G! l3 Y; g6 Q2 D
subplot(2,1,2),plot(f,m) % c3 p" w( R& X1 a/ c: v
ylabel(Abs. Magnitude),grid on , k3 W; j& L7 K7 i8 V1 r( p
xlabel(Frequency (Hertz))
7 y5 P0 I. W3 V( y" U
1 O- J) r. x5 E" l" s, X6 O 例2 :信号在传输过程中,由于受信道或环境影响,在接收端得到的是噪声环境下的信号。我们利用FFT函数对这一信号进行傅里叶分析,从而确定信号的频率,程序如下:
3 Q9 g k, W; L/ c- h t=0:1/199:1; 7 s$ A+ B$ ~# {5 h9 c4 q
x=sin(2*pi*50*t)+1.2*randn(size(t)); %噪声中的信号 1 Y0 W, I4 {# q) H! J' V% H
y=fft(x); 9 Q" K. B$ N s3 r* w' V' ]: ?
m=abs(y); ; _6 d% [5 y* }* D/ @' P
f=(0:length(y) -1)*199/length(y); * k' A7 x, L6 B& A
figure(1) ! S3 h* x/ n: S' t3 k
subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on " i1 S, J8 H2 I |6 h
title(信号检测)
# f |1 R2 s, y4 t' }" M6 f ylabel(Input \itx),xlabel(Time )
% W) X6 s0 a3 W) Q# n# w subplot(2,1,2),plot(f,m)
, B, ^ `0 X* d& l0 Y ylabel(Abs. Magnitude),grid on
- L$ ?4 Z# p; B# G& Q( ` xlabel(Frequency (Hertz))
2 i8 o& v$ p l/ y
( D) X* U4 e2 o& F/ ?# q 例3 :天文学家记录了300年来太阳黑子的活动情况,我们对这组数据进行傅里叶分析,从而得出太阳黑子的活动周期。MATLAB程序如下:
9 D! l/ k t0 Y4 n) W `; i load sunspot.dat
4 Z9 o% N7 O- T+ N1 ` year=sunspot(:,1); ; u$ Y) i9 F; Y0 _$ [% b1 w5 U
wolfer=sunspot(:,2); ' l# o& p1 T/ I" o! n" I: x
figure(1)
! F6 Z% ~# ?/ X subplot(2,1,1) & h9 t# o4 q4 I7 z
plot(year,wolfer) 7 \; _( z6 a. Y1 @9 o% r4 f
title(原始数据) 0 P/ U m* B9 {/ ~" [1 E# ~+ x8 k
Y=fft(wolfer);
/ c" S: b1 _6 \; l& I! l4 p N=length(Y); & R/ B5 ] e% L+ {7 v4 x/ u% T; n
Y(1)=[]; % ~5 A6 u* @/ M3 j3 l4 n
power=abs(Y(1:N/2)).^2; 2 x1 s* Y* N* \# H) H/ U. v
nyquist=1/2;
2 ~0 F- F# r# h9 S* f freq=(1:N/2)/(N/2)*nyquist; 8 z( n- O0 L" G6 n6 E2 ~; H
period=1./freq; . K$ W, A2 l' _9 U7 S6 }+ p
subplot(2,1,2) + w; j: i m2 ^/ |( e( A( c7 ^
plot(period,power) 2 M& e0 j- h- z& b( b
title(功率谱), grid on 7 v; {4 A* O( L4 l. [2 s& f. K: T
axis([0 40 0 2e7]) ( `/ a% k p6 X8 o8 B9 B
4 A- y& Z/ l: l( u/ j4 Y+ P 各位读者朋友,感谢您的阅读,您若对工程应用中的数学问题感兴趣,欢迎关注我,愿我们一起讨论和成长!!!
" j w3 `9 z+ Z: B2 E) G$ X$ u0 f: w
9 ]7 h+ b, f3 v
9 j$ ~0 ~: G" H3 a
/ y4 g! h3 D- P( E7 t |