MATLAB应用——数据分析与统计

# I! W2 |2 y* ~5 v! N

3 N9 W* E$ X e3 u. f. @3 W

数学建模是用数学方法解决各种实际问题的桥梁，它已经渗透到各个领域，而且发挥出越来越重要的作用。面对自然科学和工程应用中的难题，大部分人无从入手，而个别人却能短时间内给出切实可行的解决方案，其差别往往在于驾驭数学知识的能力不同。现代计算机技术的应用不仅减少了计算错误，而且加强了数学应用者解决问题的能力。MATLAB是一款常用的数据处理软件，为了更好的应用MATLAB软件，我将整理好的MATLAB函数分享到今日头条上，以利己利人查阅。

MATLAB提供的很多数据分析与统计函数都是面向列的，即矩阵中的每一列代表一个变量的多个观测值，其列数对应于变量数，行数对应于测量点数。

max和min函数可求出数据的最大值和最小值，mean和std函数可求出数据的均值和标准差，sum和prod函数可求出数据元素和与数据元素积。例如，对MATLAB内含的某城市24小时的车流量数据count.dat可作分析：

load count.dat

mx=max(count)

mx = 114 145 257

, {, B8 K J v i# P% ?( `; M

mu=mean(count)

mu = 32.0000 46.5417 65.5833

4 U/ D$ @& y# `# l( y' B

sigma=std(count)

0 t# @7 P+ [( V7 u- X3 K9 J [

sigma = 25.3703 41.4057 68.0281

8 a1 r) E7 [1 t

对有些函数还可给出位置，例如，在求出最小值的同时，可得到最小值所在的位置(行号)：

[mx,indx]=min(count)

mx = 7 9 7

( @8 K1 A5 M1 y, w( m

indx = 2 23 24

+ m, y- l" v$ A( w+ W. U( Z8 U

1、协方差和相关系数

1 _( ^. E7 D0 D7 y$ V) e7 M

cov函数可以求出单个变量的协方差，而corrcoef函数可求出两个变量之间的相关系数，例如：

/ R* G$ N6 @5 p! N. V

cv=cov(count)

cv = 1.0e+003 *

- U1 y. w+ u1 n6 L; r+ I: w& U

0.6437 0.9802 1.6567

( Y& P% r+ j* p1 \2 ], J

0.9802 1.7144 2.6908

1.6567 2.6908 4.6278

`% L* _* b ^) v, X( _( y5 A

cr=corrcoef(count)

cr =

1.0000 0.9331 0.9599

0.9331 1.0000 0.9553

6 E K$ f7 b3 q( A6 h

0.9599 0.9553 1.0000

2、数据预处理

5 A- U" ?) a; \8 U( J' t

在MATLAB中遇到超出范围的数据时均用NaN (非数值) 表示，而且在任何运算中，只要包含NaN，就将它传递到结果中，因此在对数据进行分析前，应对数据中出现的NaN作剔除处理。例如：

! q5 Y3 }2 P$ _8 x4 R

a=[1 2 3;5 NaN 8;7 4 2];

sum(a)

5 j- F5 v' Z, f2 J4 d3 u4 d

ans = 13 NaN 13

在矢量x中删除NaN元素，可有下列四种方法：

(1)  i=find(~isnan(x))；x=x(i)。

(2)  x=x(find(~isnan(x)))。

(3)  x=x(~isnan(x))。

$ m' }" G% k$ {8 p# x0 `

(4)  x(isnan(x))=[ ]。

在矩阵X中删除NaN所在的行，可输入

4 p; D5 K$ c" o0 m5 W9 R) L2 g

X(any(isnan(X))，：)=[ ]；

经过这种预处理后的数据，可进行各种分析和统计操作。

3、回归和曲线拟合

0 S# x. }) g1 k" Y* o& m7 `2 X

对给定的数据进行拟合，可采用多项式回归，也可采用其它信号形式的回归，其基本原理是最小二乘法，这一功能实现在MATLAB中显得轻而易举。

例1：设通过测量得到一组时间t与变量y的数据：

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

y=[0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.40];

进行回归，可得到两种不同的结果。MATLAB程序如下：

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

y=[.5 .82 1.14 1.25 1.35 1.40];

" B, G1 Z2 B3 t

X1=[ones(size(t)) t t.^2];

a=X1\y;

+ f4 U2 N; [3 T) i' U. j. ^1 {

X2=[ones(size(t)) exp(–t) t.*exp(–t)];

b=X2\y;

T=[0:.1:2.5];

4 y7 D* c+ A' d- o# G' S5 e' @/ P3 F" E- R

Y1=[ones(size(T)) T T.^2]*a;

Y2=[ones(size(T)) exp(-T) T.*exp(-T)]*b;

( j. I6 O* [ Q: U: T! [. t' E

figure(1)

subplot(1,2,1)

! H: P c' D N- l6 M3 U

plot(T,Y1,-,t,y,o),grid on

title(多项式回归)

subplot(1,2,2)

' ]# h9 \! w7 h$ `% b

plot(T,Y2,-,t,y,o),grid on

- u5 w1 Y) q8 W$ { A

title(指数函数回归)

例2 已知变量y与x1，x2有关，测得一组数据为

　　x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1 ];

4 E; F i# Z0 l8 n+ S

　　x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4 ];

$ j; ]/ k# `4 b

　　y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

采用来拟合，则有

x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1];

; j# q) E! T8 R+ j

x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4];

0 ~) X; [7 o: y. W* e

y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

X=[ones(size(x1)) x1 x2];

a=X\y

4 o1 C4 G% L+ j; j; q% q

a = 0.1018 0.4844 −0.2847

因此数据的拟合模型为

- O' Y9 m8 l+ Z0 ?

y=0.1018+0.4844x1−0.2487x2

4、傅里叶分析与FFT

利用MATLAB提供的FFT函数可方便地计算出信号的傅里叶变换，从而在频域上对信号进行分析。

9 X; A. z' Q0 `& O a. x) U/ _

例1 ：混合频率信号成分分析。有一信号x由三种不同频率的正弦信号混合而成，通过得到信号的DFT，确定出信号的频率及其强度关系，程序如下：

+ U: c9 R$ r: c' `0 w" o

t=0:1/119:1;

x=5*sin(2*pi*20*t)+3*sin(2*pi*30*t)+sin(2*pi*45*t);

y=fft(x);

m=abs(y);

f=(0:length(y) -1)*119/length(y);

* N7 b) @/ b6 C* M

figure(1)

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

! V. _ B4 Y7 G

title(多频率混合信号)

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

2 N/ K" N! D2 m- H3 k

subplot(2,1,2),plot(f,m)

% E% d' Z1 [! V1 t

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

xlabel(Frequency (Hertz))

+ o& o6 ^! q' r+ M' u

例2 ：信号在传输过程中，由于受信道或环境影响，在接收端得到的是噪声环境下的信号。我们利用FFT函数对这一信号进行傅里叶分析，从而确定信号的频率，程序如下：

t=0:1/199:1;

# ~& b- X4 j) ]' g

x=sin(2*pi*50*t)+1.2*randn(size(t)); ％噪声中的信号

y=fft(x);

m=abs(y);

f=(0:length(y) -1)*199/length(y);

figure(1)

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

$ {8 [! t6 U+ v" Q+ U9 d

title(信号检测)

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

subplot(2,1,2),plot(f,m)

9 M v P1 ]* X$ d3 |) g

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

0 g- H2 {9 B# l$ X# b+ D1 p' I! z

xlabel(Frequency (Hertz))

' m' ` f1 l% W8 B6 h! W2 `

例3 ：天文学家记录了300年来太阳黑子的活动情况，我们对这组数据进行傅里叶分析，从而得出太阳黑子的活动周期。MATLAB程序如下：

7 X: v3 I1 ?% N0 ~, q

load sunspot.dat

9 q7 l* i9 ?0 h

year=sunspot(:,1);

; g3 }. {# ]; x; \' d' P5 i

wolfer=sunspot(:,2);

figure(1)

subplot(2,1,1)

4 r6 H# D/ Y6 L# F$ g7 W5 O9 L

plot(year,wolfer)

- U, Z8 b( X0 S8 n1 C! B

title(原始数据)

+ ~9 i) g v) r' F" X! ~

Y=fft(wolfer);

N=length(Y);

! {) z) e/ O- k3 p6 G" F

Y(1)=[];

power=abs(Y(1:N/2)).^2;

+ E0 m0 P% S( T! p6 [1 `

nyquist=1/2;

freq=(1:N/2)/(N/2)*nyquist;

period=1./freq;

subplot(2,1,2)

plot(period,power)

title(功率谱), grid on

8 T% k! V; [. K' W% v

axis([0 40 0 2e7])

/ j" L% u. Y. ]/ J$ }+ u

各位读者朋友，感谢您的阅读，您若对工程应用中的数学问题感兴趣，欢迎关注我，愿我们一起讨论和成长！！！

# B6 m0 X' J K0 P+ { * O( Z0 R1 s9 C$ x! O [- Z4 f$ y$ p: m7 I7 f9 x