MATLAB应用——数据分析与统计

- ~$ }5 ~5 Y! Q* I+ f& P

4 _6 C4 l3 c3 U8 Z

数学建模是用数学方法解决各种实际问题的桥梁，它已经渗透到各个领域，而且发挥出越来越重要的作用。面对自然科学和工程应用中的难题，大部分人无从入手，而个别人却能短时间内给出切实可行的解决方案，其差别往往在于驾驭数学知识的能力不同。现代计算机技术的应用不仅减少了计算错误，而且加强了数学应用者解决问题的能力。MATLAB是一款常用的数据处理软件，为了更好的应用MATLAB软件，我将整理好的MATLAB函数分享到今日头条上，以利己利人查阅。

2 {' _% c- U5 d/ D( m3 D6 S

MATLAB提供的很多数据分析与统计函数都是面向列的，即矩阵中的每一列代表一个变量的多个观测值，其列数对应于变量数，行数对应于测量点数。

max和min函数可求出数据的最大值和最小值，mean和std函数可求出数据的均值和标准差，sum和prod函数可求出数据元素和与数据元素积。例如，对MATLAB内含的某城市24小时的车流量数据count.dat可作分析：

" W7 a& Q: b5 F: R

load count.dat

3 ~+ P0 v7 C9 y; {8 d8 \/ C

mx=max(count)

: B% A% ]0 a/ X+ r, m. `

mx = 114 145 257

3 }- _) a+ G! O, c

mu=mean(count)

- l+ m, O1 @0 a$ C- @/ N" y

mu = 32.0000 46.5417 65.5833

% I) Z X4 J+ J* o! r" C. d

sigma=std(count)

9 ]5 O% f9 b+ H& [/ ~" ?

sigma = 25.3703 41.4057 68.0281

对有些函数还可给出位置，例如，在求出最小值的同时，可得到最小值所在的位置(行号)：

[mx,indx]=min(count)

0 }7 ?6 ]$ i; L Y+ L

mx = 7 9 7

( E2 a' u$ F$ ?7 l4 ]: y

indx = 2 23 24

- A% r" t9 T% x

1、协方差和相关系数

cov函数可以求出单个变量的协方差，而corrcoef函数可求出两个变量之间的相关系数，例如：

4 P2 I7 I/ \( X6 o# Z/ @2 _) M/ v

cv=cov(count)

cv = 1.0e+003 *

0.6437 0.9802 1.6567

0.9802 1.7144 2.6908

: \# _; Z' V/ o% ?& ^5 l* W

1.6567 2.6908 4.6278

cr=corrcoef(count)

cr =

1.0000 0.9331 0.9599

0.9331 1.0000 0.9553

# a/ w. M! Z) l

0.9599 0.9553 1.0000

4 e6 G% n% k2 s+ N

2、数据预处理

. C) t8 Z% I" Q! h

在MATLAB中遇到超出范围的数据时均用NaN (非数值) 表示，而且在任何运算中，只要包含NaN，就将它传递到结果中，因此在对数据进行分析前，应对数据中出现的NaN作剔除处理。例如：

7 {' w( |1 U+ b4 i) u% N

a=[1 2 3;5 NaN 8;7 4 2];

sum(a)

$ h* y, m' T @* S3 o

ans = 13 NaN 13

在矢量x中删除NaN元素，可有下列四种方法：

(1)  i=find(~isnan(x))；x=x(i)。

(2)  x=x(find(~isnan(x)))。

. y5 ~7 S( ?, g$ B

(3)  x=x(~isnan(x))。

(4)  x(isnan(x))=[ ]。

在矩阵X中删除NaN所在的行，可输入

X(any(isnan(X))，：)=[ ]；

7 ~; x* E& c$ L/ p+ U- O+ B

经过这种预处理后的数据，可进行各种分析和统计操作。

2 H: E7 [* l9 O

3、回归和曲线拟合

4 M0 L1 E% U* f/ @6 G; x9 ^) E

对给定的数据进行拟合，可采用多项式回归，也可采用其它信号形式的回归，其基本原理是最小二乘法，这一功能实现在MATLAB中显得轻而易举。

( q7 A8 v* u! q7 z

例1：设通过测量得到一组时间t与变量y的数据：

5 Z6 }+ a8 V8 d5 k8 q1 H

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

y=[0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.40];

进行回归，可得到两种不同的结果。MATLAB程序如下：

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

y=[.5 .82 1.14 1.25 1.35 1.40];

+ Q1 K4 `1 _$ B9 K1 q) ? v

X1=[ones(size(t)) t t.^2];

2 Y, _+ ?! @: {# _- T

a=X1\y;

" f/ e3 ]- @& ^

X2=[ones(size(t)) exp(–t) t.*exp(–t)];

& o7 {: k% \/ ~( V. P

b=X2\y;

T=[0:.1:2.5];

Y1=[ones(size(T)) T T.^2]*a;

, Y: o' L2 j9 Y+ ~# J# b

Y2=[ones(size(T)) exp(-T) T.*exp(-T)]*b;

figure(1)

subplot(1,2,1)

plot(T,Y1,-,t,y,o),grid on

: U. Z% W: {" [, e* @6 O6 |8 I

title(多项式回归)

) {8 J5 X' }4 V9 b- u7 L

subplot(1,2,2)

plot(T,Y2,-,t,y,o),grid on

title(指数函数回归)

例2 已知变量y与x1，x2有关，测得一组数据为

6 ^" S8 H# B0 z- ?) J2 O0 T4 N! q9 Y

　　x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1 ];

　　x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4 ];

　　y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

$ T! ], U7 U1 F$ h

采用来拟合，则有

x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1];

5 @% ^2 D& z0 e7 W+ c& M

x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4];

y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

/ \) {! G+ C/ R! ~+ a8 G7 y) k4 R0 e

X=[ones(size(x1)) x1 x2];

$ j8 g8 i& i: f7 R1 C5 w4 _

a=X\y

a = 0.1018 0.4844 −0.2847

因此数据的拟合模型为

y=0.1018+0.4844x1−0.2487x2

- d9 [, z/ ?$ K4 e. U( a3 @

4、傅里叶分析与FFT

利用MATLAB提供的FFT函数可方便地计算出信号的傅里叶变换，从而在频域上对信号进行分析。

m1 C4 M2 m. E# Z7 t2 o* A6 P

例1 ：混合频率信号成分分析。有一信号x由三种不同频率的正弦信号混合而成，通过得到信号的DFT，确定出信号的频率及其强度关系，程序如下：

5 A8 b1 l# i- D# a% u2 ^

t=0:1/119:1;

x=5*sin(2*pi*20*t)+3*sin(2*pi*30*t)+sin(2*pi*45*t);

y=fft(x);

m=abs(y);

0 v$ u7 Y% ^9 ~5 M4 X

f=(0:length(y) -1)*119/length(y);

figure(1)

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

5 T% W; K4 W4 a$ \6 K" } r+ R+ C1 q `

title(多频率混合信号)

2 R: @0 \! E7 N" b2 |/ C

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

2 M; J& r0 v8 ~6 c' O: s

subplot(2,1,2),plot(f,m)

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

' s4 H. f7 j" x4 ^* M& O3 r7 D

xlabel(Frequency (Hertz))

例2 ：信号在传输过程中，由于受信道或环境影响，在接收端得到的是噪声环境下的信号。我们利用FFT函数对这一信号进行傅里叶分析，从而确定信号的频率，程序如下：

) Z; k( M7 M8 S; |. v

t=0:1/199:1;

x=sin(2*pi*50*t)+1.2*randn(size(t)); ％噪声中的信号

y=fft(x);

m=abs(y);

f=(0:length(y) -1)*199/length(y);

figure(1)

* x% l3 d- K; e+ _7 e6 y. W

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

title(信号检测)

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

% h8 _, {" _. J3 X% B

subplot(2,1,2),plot(f,m)

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

: D: \3 j7 l: y0 ?3 q/ U

xlabel(Frequency (Hertz))

3 ~8 y# J* ~4 e

例3 ：天文学家记录了300年来太阳黑子的活动情况，我们对这组数据进行傅里叶分析，从而得出太阳黑子的活动周期。MATLAB程序如下：

load sunspot.dat

year=sunspot(:,1);

wolfer=sunspot(:,2);

7 Q( V4 _2 R; O9 t. A# z" ]

figure(1)

; {0 \! m) A+ H

subplot(2,1,1)

9 b4 Y* |: o: a! o0 d4 W

plot(year,wolfer)

title(原始数据)

+ g6 u4 d4 [7 f. K1 ~

Y=fft(wolfer);

/ t3 h* O2 ^9 s" @3 n

N=length(Y);

' E/ \& j; T4 O: _0 k

Y(1)=[];

power=abs(Y(1:N/2)).^2;

nyquist=1/2;

# D# g( r* j g7 F& T) c$ L

freq=(1:N/2)/(N/2)*nyquist;

period=1./freq;

subplot(2,1,2)

plot(period,power)

. M& E4 ]- g$ a* ]) Z- A$ e5 D# s) b

title(功率谱), grid on

axis([0 40 0 2e7])

, Z* w! E: o7 o% N3 }

各位读者朋友，感谢您的阅读，您若对工程应用中的数学问题感兴趣，欢迎关注我，愿我们一起讨论和成长！！！

0 f0 [0 h# ^# f* h/ G ( t6 ?" J7 a! s. j+ c