MATLAB应用——数据分析与统计

数学建模是用数学方法解决各种实际问题的桥梁，它已经渗透到各个领域，而且发挥出越来越重要的作用。面对自然科学和工程应用中的难题，大部分人无从入手，而个别人却能短时间内给出切实可行的解决方案，其差别往往在于驾驭数学知识的能力不同。现代计算机技术的应用不仅减少了计算错误，而且加强了数学应用者解决问题的能力。MATLAB是一款常用的数据处理软件，为了更好的应用MATLAB软件，我将整理好的MATLAB函数分享到今日头条上，以利己利人查阅。

MATLAB提供的很多数据分析与统计函数都是面向列的，即矩阵中的每一列代表一个变量的多个观测值，其列数对应于变量数，行数对应于测量点数。

& q, n, ^- Q6 B7 N& N. Y( h1 E/ W

max和min函数可求出数据的最大值和最小值，mean和std函数可求出数据的均值和标准差，sum和prod函数可求出数据元素和与数据元素积。例如，对MATLAB内含的某城市24小时的车流量数据count.dat可作分析：

load count.dat

% P. ^) b- Q: l1 |8 E W# ^

mx=max(count)

mx = 114 145 257

mu=mean(count)

/ o" X( c: L8 c- X# J9 Y6 d+ o% Y

mu = 32.0000 46.5417 65.5833

. i! E: T+ k* M' L0 L! l6 p- j* Q

sigma=std(count)

: B1 y' A4 D' g& s, U) @5 z

sigma = 25.3703 41.4057 68.0281

. D5 x9 C3 \$ L, C& n. a

对有些函数还可给出位置，例如，在求出最小值的同时，可得到最小值所在的位置(行号)：

[mx,indx]=min(count)

. G+ c4 O2 {6 Y* a W2 q R1 ^! e; O

mx = 7 9 7

indx = 2 23 24

1、协方差和相关系数

cov函数可以求出单个变量的协方差，而corrcoef函数可求出两个变量之间的相关系数，例如：

cv=cov(count)

cv = 1.0e+003 *

0.6437 0.9802 1.6567

0.9802 1.7144 2.6908

1.6567 2.6908 4.6278

2 a7 Q1 x9 w. {7 h* {7 E4 Z N4 e7 m

cr=corrcoef(count)

0 H$ W+ W3 `, H/ z. N

cr =

1.0000 0.9331 0.9599

7 a6 I! g+ O; v: O$ n5 g

0.9331 1.0000 0.9553

0.9599 0.9553 1.0000

2、数据预处理

在MATLAB中遇到超出范围的数据时均用NaN (非数值) 表示，而且在任何运算中，只要包含NaN，就将它传递到结果中，因此在对数据进行分析前，应对数据中出现的NaN作剔除处理。例如：

* }- U, f/ r3 D

a=[1 2 3;5 NaN 8;7 4 2];

sum(a)

ans = 13 NaN 13

在矢量x中删除NaN元素，可有下列四种方法：

( N- `' a1 i0 l/ J4 }

(1)  i=find(~isnan(x))；x=x(i)。

(2)  x=x(find(~isnan(x)))。

(3)  x=x(~isnan(x))。

(4)  x(isnan(x))=[ ]。

在矩阵X中删除NaN所在的行，可输入

X(any(isnan(X))，：)=[ ]；

经过这种预处理后的数据，可进行各种分析和统计操作。

7 ]9 g Z7 N% g, y1 K/ y0 u

3、回归和曲线拟合

& D0 X# S& m& }. }3 U% U! x. P% s

对给定的数据进行拟合，可采用多项式回归，也可采用其它信号形式的回归，其基本原理是最小二乘法，这一功能实现在MATLAB中显得轻而易举。

例1：设通过测量得到一组时间t与变量y的数据：

- s: B! ]! A% I% V# W6 G1 h4 p

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

% q# _* \' C. D9 u- p

y=[0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.40];

进行回归，可得到两种不同的结果。MATLAB程序如下：

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

, G3 V, X8 k' z$ ^- n9 ]. P

y=[.5 .82 1.14 1.25 1.35 1.40];

X1=[ones(size(t)) t t.^2];

a=X1\y;

7 Q7 q: |9 J0 `; q- ^& a

X2=[ones(size(t)) exp(–t) t.*exp(–t)];

b=X2\y;

T=[0:.1:2.5];

Y1=[ones(size(T)) T T.^2]*a;

Y2=[ones(size(T)) exp(-T) T.*exp(-T)]*b;

8 p: W7 m1 S- t/ A$ V6 T0 L! `

figure(1)

. M# H, ?1 y# v4 \1 I" ?; y

subplot(1,2,1)

% a8 `# X' T& O" O+ x

plot(T,Y1,-,t,y,o),grid on

title(多项式回归)

subplot(1,2,2)

9 e7 g! ]* y/ O k) M' P* r$ G' _

plot(T,Y2,-,t,y,o),grid on

4 L( W$ O2 D7 p# [: ]

title(指数函数回归)

' C" z: h/ I) f8 X6 w2 G

例2 已知变量y与x1，x2有关，测得一组数据为

" d& P3 i7 X" E+ F, `

　　x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1 ];

　　x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4 ];

+ n4 D7 N k7 x) [, [* J- E; |

　　y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

采用来拟合，则有

( [. p8 _) q- \6 i ~1 k

x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1];

x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4];

y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

5 i6 l' {- Q- y; G! a$ l

X=[ones(size(x1)) x1 x2];

a=X\y

`+ x5 H3 r7 q, n% j+ D

a = 0.1018 0.4844 −0.2847

7 Z: g. y; A& c) L' D c

因此数据的拟合模型为

! O. h2 ]3 I" k" o& @& H {

y=0.1018+0.4844x1−0.2487x2

4、傅里叶分析与FFT

利用MATLAB提供的FFT函数可方便地计算出信号的傅里叶变换，从而在频域上对信号进行分析。

: d1 S; E6 E/ B5 u! k( n- u

例1 ：混合频率信号成分分析。有一信号x由三种不同频率的正弦信号混合而成，通过得到信号的DFT，确定出信号的频率及其强度关系，程序如下：

9 [' x! `' n9 T* F2 R( f4 a

t=0:1/119:1;

2 a) I4 K, N2 A* L# p+ n* u/ H7 x& A

x=5*sin(2*pi*20*t)+3*sin(2*pi*30*t)+sin(2*pi*45*t);

, c8 f2 I$ i4 X5 u9 b: m

y=fft(x);

2 f7 D& F% K2 r

m=abs(y);

p: x: x, |0 j2 y# e0 U' U

f=(0:length(y) -1)*119/length(y);

figure(1)

/ W- B% s( F: Z( V

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

9 ~6 L: ]) a5 H5 Z

title(多频率混合信号)

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

subplot(2,1,2),plot(f,m)

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

xlabel(Frequency (Hertz))

7 y5 P0 I. W3 V( y" U

1 O- J) r. x5 E" l" s, X6 O

例2 ：信号在传输过程中，由于受信道或环境影响，在接收端得到的是噪声环境下的信号。我们利用FFT函数对这一信号进行傅里叶分析，从而确定信号的频率，程序如下：

3 Q9 g k, W; L/ c- h

t=0:1/199:1;

x=sin(2*pi*50*t)+1.2*randn(size(t)); ％噪声中的信号

y=fft(x);

m=abs(y);

f=(0:length(y) -1)*199/length(y);

figure(1)

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

title(信号检测)

# f |1 R2 s, y4 t' }" M6 f

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

% W) X6 s0 a3 W) Q# n# w

subplot(2,1,2),plot(f,m)

, B, ^ `0 X* d& l0 Y

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

- L$ ?4 Z# p; B# G& Q( `

xlabel(Frequency (Hertz))

2 i8 o& v$ p l/ y

( D) X* U4 e2 o& F/ ?# q

例3 ：天文学家记录了300年来太阳黑子的活动情况，我们对这组数据进行傅里叶分析，从而得出太阳黑子的活动周期。MATLAB程序如下：

9 D! l/ k t0 Y4 n) W `; i

load sunspot.dat

4 Z9 o% N7 O- T+ N1 `

year=sunspot(:,1);

wolfer=sunspot(:,2);

figure(1)

! F6 Z% ~# ?/ X

subplot(2,1,1)

plot(year,wolfer)

title(原始数据)

Y=fft(wolfer);

/ c" S: b1 _6 \; l& I! l4 p

N=length(Y);

Y(1)=[];

power=abs(Y(1:N/2)).^2;

nyquist=1/2;

2 ~0 F- F# r# h9 S* f

freq=(1:N/2)/(N/2)*nyquist;

period=1./freq;

subplot(2,1,2)

plot(period,power)

title(功率谱), grid on

axis([0 40 0 2e7])

4 A- y& Z/ l: l( u/ j4 Y+ P

各位读者朋友，感谢您的阅读，您若对工程应用中的数学问题感兴趣，欢迎关注我，愿我们一起讨论和成长！！！

" j w3 `9 z+ Z: B 9 j$ ~0 ~: G" H3 a / y4 g! h3 D- P( E7 t