MATLAB应用——数据分析与统计

4 n$ G2 K# k$ \! u& T

数学建模是用数学方法解决各种实际问题的桥梁，它已经渗透到各个领域，而且发挥出越来越重要的作用。面对自然科学和工程应用中的难题，大部分人无从入手，而个别人却能短时间内给出切实可行的解决方案，其差别往往在于驾驭数学知识的能力不同。现代计算机技术的应用不仅减少了计算错误，而且加强了数学应用者解决问题的能力。MATLAB是一款常用的数据处理软件，为了更好的应用MATLAB软件，我将整理好的MATLAB函数分享到今日头条上，以利己利人查阅。

. z2 E) B: N6 C5 L

MATLAB提供的很多数据分析与统计函数都是面向列的，即矩阵中的每一列代表一个变量的多个观测值，其列数对应于变量数，行数对应于测量点数。

2 F _1 o% ~: d; L* H: d0 S

max和min函数可求出数据的最大值和最小值，mean和std函数可求出数据的均值和标准差，sum和prod函数可求出数据元素和与数据元素积。例如，对MATLAB内含的某城市24小时的车流量数据count.dat可作分析：

load count.dat

* \3 v" |9 K8 U3 Z( F- I

mx=max(count)

$ [9 D; n7 _! W0 v

mx = 114 145 257

' a$ I1 p, C3 K4 B/ e5 N1 I) E, j

mu=mean(count)

mu = 32.0000 46.5417 65.5833

5 Y0 |* }9 A( A/ J6 b2 T

sigma=std(count)

sigma = 25.3703 41.4057 68.0281

9 e8 A, U1 u4 u I& X0 @) J

对有些函数还可给出位置，例如，在求出最小值的同时，可得到最小值所在的位置(行号)：

# b, ^$ G# ~( e4 ~

[mx,indx]=min(count)

mx = 7 9 7

) ]$ p6 v4 n# S- I: ` {

indx = 2 23 24

/ D$ Y: O- M% |+ `8 _* L9 I: j

1、协方差和相关系数

cov函数可以求出单个变量的协方差，而corrcoef函数可求出两个变量之间的相关系数，例如：

* i3 t5 d3 M/ Y( M

cv=cov(count)

# Z% H% C2 x- t; n! E5 J

cv = 1.0e+003 *

0.6437 0.9802 1.6567

1 m: W0 i* o/ h8 }' P* T

0.9802 1.7144 2.6908

1.6567 2.6908 4.6278

cr=corrcoef(count)

cr =

1.0000 0.9331 0.9599

* l8 N. p/ l" R1 v

0.9331 1.0000 0.9553

, R8 ], O8 q' j( K1 t

0.9599 0.9553 1.0000

2、数据预处理

在MATLAB中遇到超出范围的数据时均用NaN (非数值) 表示，而且在任何运算中，只要包含NaN，就将它传递到结果中，因此在对数据进行分析前，应对数据中出现的NaN作剔除处理。例如：

a=[1 2 3;5 NaN 8;7 4 2];

sum(a)

& Q+ |8 J! y& O

ans = 13 NaN 13

9 ^+ i( ]& `# M& }7 ]) o$ B, {

在矢量x中删除NaN元素，可有下列四种方法：

(1)  i=find(~isnan(x))；x=x(i)。

$ B+ J! Z- f/ U9 Y3 J2 {2 F- b

(2)  x=x(find(~isnan(x)))。

(3)  x=x(~isnan(x))。

8 J7 V) H- V" A4 M, G. x6 L

(4)  x(isnan(x))=[ ]。

在矩阵X中删除NaN所在的行，可输入

+ e+ `# z$ D1 X

X(any(isnan(X))，：)=[ ]；

# h7 O: ~' O) V' W/ ^( W3 O

经过这种预处理后的数据，可进行各种分析和统计操作。

3、回归和曲线拟合

+ l9 `0 W' ]& N' n

对给定的数据进行拟合，可采用多项式回归，也可采用其它信号形式的回归，其基本原理是最小二乘法，这一功能实现在MATLAB中显得轻而易举。

例1：设通过测量得到一组时间t与变量y的数据：

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

7 s9 \2 x# T$ T

y=[0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.40];

' p8 c; @8 [5 {& d7 X6 \6 e

进行回归，可得到两种不同的结果。MATLAB程序如下：

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

y=[.5 .82 1.14 1.25 1.35 1.40];

* q; |7 J1 y3 Q+ e) R9 S, H

X1=[ones(size(t)) t t.^2];

a=X1\y;

* M& _! f7 e8 t5 {8 O% P

X2=[ones(size(t)) exp(–t) t.*exp(–t)];

4 H9 \0 _" T$ b- J

b=X2\y;

% D- b9 Q4 S, ] n

T=[0:.1:2.5];

- \$ I+ C* C9 l, B ]7 T

Y1=[ones(size(T)) T T.^2]*a;

9 k0 G# H- T. s/ n7 l# H9 Z

Y2=[ones(size(T)) exp(-T) T.*exp(-T)]*b;

9 z+ u) ^0 R- L8 G5 {' t+ N

figure(1)

) i R2 m, L& ] l$ P

subplot(1,2,1)

plot(T,Y1,-,t,y,o),grid on

# X8 \1 n5 F, O5 _# i$ [

title(多项式回归)

! @0 S2 k9 n( M1 |! i2 {9 w

subplot(1,2,2)

plot(T,Y2,-,t,y,o),grid on

title(指数函数回归)

例2 已知变量y与x1，x2有关，测得一组数据为

　　x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1 ];

　　x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4 ];

! v: h9 D: M5 w; |4 i; u

　　y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

采用来拟合，则有

x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1];

! I8 m# L/ j3 w( j1 i4 x& P$ @

x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4];

9 X5 h9 B! D, P4 s- s1 y7 Z

y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

X=[ones(size(x1)) x1 x2];

a=X\y

a = 0.1018 0.4844 −0.2847

9 h6 Y; O x; @1 `, |. l8 e! O

因此数据的拟合模型为

y=0.1018+0.4844x1−0.2487x2

* U2 j k* F: S1 v0 |/ @' V- H7 F

4、傅里叶分析与FFT

D, z* ]. V7 m2 N% p0 W" @

利用MATLAB提供的FFT函数可方便地计算出信号的傅里叶变换，从而在频域上对信号进行分析。

例1 ：混合频率信号成分分析。有一信号x由三种不同频率的正弦信号混合而成，通过得到信号的DFT，确定出信号的频率及其强度关系，程序如下：

\9 A) F& I- G. I9 u1 u* S

t=0:1/119:1;

x=5*sin(2*pi*20*t)+3*sin(2*pi*30*t)+sin(2*pi*45*t);

5 z& \! b/ E9 p+ s: i7 v

y=fft(x);

m=abs(y);

& u" C8 |& L* h. y

f=(0:length(y) -1)*119/length(y);

figure(1)

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

title(多频率混合信号)

t1 D2 |% A1 {6 V

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

; @* B7 o1 k4 k8 R- H4 C3 ~6 O

subplot(2,1,2),plot(f,m)

4 r, V; t2 u! ], G

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

7 m9 t4 J' y f; @ V2 R

xlabel(Frequency (Hertz))

6 } a* h6 u+ R( M, D: a

7 _ ^ _: r* }

例2 ：信号在传输过程中，由于受信道或环境影响，在接收端得到的是噪声环境下的信号。我们利用FFT函数对这一信号进行傅里叶分析，从而确定信号的频率，程序如下：

t=0:1/199:1;

( }! K1 Y( R6 q6 |0 K2 [, m9 T

x=sin(2*pi*50*t)+1.2*randn(size(t)); ％噪声中的信号

y=fft(x);

, e3 v& \; L. A* f' {) J+ f

m=abs(y);

! b* x' R) ~+ \( r N. `! l

f=(0:length(y) -1)*199/length(y);

5 r, j7 o! _2 Z2 A7 b

figure(1)

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

title(信号检测)

% Q' c/ _/ C1 D: c5 {) D

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

subplot(2,1,2),plot(f,m)

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

xlabel(Frequency (Hertz))

例3 ：天文学家记录了300年来太阳黑子的活动情况，我们对这组数据进行傅里叶分析，从而得出太阳黑子的活动周期。MATLAB程序如下：

2 i' _) I# l8 G& h

load sunspot.dat

year=sunspot(:,1);

1 ]+ ]( q/ K8 M- q5 J8 v/ U# n

wolfer=sunspot(:,2);

figure(1)

% `% w0 @; v% j

subplot(2,1,1)

/ ]/ ], D% {0 {

plot(year,wolfer)

title(原始数据)

Y=fft(wolfer);

6 r& ?1 k9 @% W. z6 v) a2 J

N=length(Y);

Y(1)=[];

power=abs(Y(1:N/2)).^2;

nyquist=1/2;

freq=(1:N/2)/(N/2)*nyquist;

period=1./freq;

subplot(2,1,2)

plot(period,power)

title(功率谱), grid on

' m( O" X/ K t$ }; Q

axis([0 40 0 2e7])

! ?4 P6 z l0 h! X9 y% f

各位读者朋友，感谢您的阅读，您若对工程应用中的数学问题感兴趣，欢迎关注我，愿我们一起讨论和成长！！！

7 g$ Q9 B7 i: `* \% V 3 B2 ?/ V t0 W! q ( R0 E4 X' |9 l0 l9 C" Q $ m. a( I/ X' c4 W% R$ i8 T6 O