千禧年大奖难题之一纳维-斯托克斯方程的解的存在性与光滑性的证明

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美国著名物理学家、诺贝尔奖获得者费曼曾经说过：湍流是经典物理学中最后一个尚未解决的重要问题。从雷诺1883年在曼切斯特做的圆管流动实验开始算起，虽然湍流现象已经被广泛研究了近140年，但是湍流产生的物理机理至今仍不清楚。据传，量子力学奠基人之一、德国著名物理学家、诺贝尔奖获得者海森堡临终前曾在病榻上说过一句话：“当我见到上帝后,我一定要问他两个问题——什么是相对论,什么是湍流。我相信他只对第一个问题应该有了答案”。由此可见，湍流问题的解决难度之大令人难以想象。
* q( E# X/ x5 V8 U6 G* x$ z纳维-斯托克斯(Navier-Stokes)方程是由法国科学家纳维（1821）和英国科学家斯托克斯（1845）建立的。经过100多年的研究，人们相信Navier-Stokes方程是描述湍流的正确方程。现代Navier-Stokes方程直接数值模拟（DNS）的结果几乎与实验数据完全一致。从工程角度考虑，Navier-Stokes方程描述湍流已满足应用要求。但是，数学家更关心的是纳维-斯托克斯方程的解的存在性与光滑性，这个问题至今没有得到证明。为此，美国Clay数学所在2000年公布的7个千禧年百万美元大奖难题中，Navier-Stokes方程为其中之一。
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, z5 b4 J! ?# w$ |$ C. H, w0 G5 c# C1934年，法国数学家勒雷（Leray）证明了纳维-斯托克斯问题弱解的存在，此解在流场中平均值上满足纳维-斯托克斯问题，但无法在整个定义域的每一点上满足。现在，数学家想要解决的是纳维-斯托克斯的强解问题，即其解需要在流场中定义域上的每一点上都要满足。用另一种说法，对一给定的起始点流动条件，可以准确预测随时间变化后面发展的任意时刻的流动状况。或者对湍流流动中的任何一点任意时刻的流动，可以精确追溯到它的起始点的流动的起始条件。
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; A: z% z. j/ e2 Q' s美国Clay数学所设定了该问题具体的数学描述[1]：证明或反证下面的问题：在三维的空间及时间下，给定一起始的速度场，存在一矢量的速度场及标量的压力场，为纳维－斯托克斯方程的解，其中速度场及压力场需满足光滑及全局定义的特性。
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对转捩流动和湍流流动，我们同时用能量梯度理论和泊松方程分析两种不同的方法证明了Navier-Stokes方程不存在全局域上的光滑解。理论得到了实验结果及数值模拟结果的验证。我们采用能量梯度理论的证明请见文献[2]。下面是采用泊松方程分析方法的证明[3]：




, l1 F7 V' j4 C, @1 M# k（1）对三维空间的平面channel流动(压力驱动流动)，Navier-Stokes方程可以写成下面泊松方程的形式,
" D2 M2 @+ j- `/ _: v! e( e* M. {. X  H∇2u(x,y,z)=Fx(x,y,z,t)，在静止壁面上的边界条件为 u=0，式中u为x方向的速度分量。在整个定义域上，定义源项 Fx(x,y,z,t)>0 and Fx(x,y,z,t)≠0。如果Fx(x,y,z,t)=0，则整个域上流体是静止的，所讨论的问题就没有意义了。对y和z方向，可以写出另外2个速度分量的泊松方程，这里我们只讨论u分量。
) P1 O! U' O# h' M5 `给定起始条件，按照要求，这里我们规定起始速度场为一光滑的层流流场。然后，观察流场在扰动作用下的发展和变化，这是层流到湍流的转捩过程中的转捩流动（transitonal flow）的特征。
（2）根据观察（实验和数值模拟），层流流动在扰动与基本流动相互作用下，在足够高的雷诺数下，速度剖面会发生扭曲，畸变。研究发现，在一定的扰动程度下，流场中存在这样的点，Fx(x,y,z,t)=0 (详细发现请见下面文献)。下面用两种观点来解释此处为奇点：（a）Fx(x,y,z,t)=0 这样的点在流场中定义域上是没有定义的，所以在转捩流动中出现的这样的点是流场中的奇点。 （b）我们知道，奇点是没有体积的。当流场中 Fx(x,y,z,t)=0 的点形成后，随时间进一步发展，Fx(x,y,z,t)=0 的点在y方向具有一定宽度（宽度大于0），此时利用泊松方程解出的当地速度为 u=0。说明此处流向速度u发生了间断，间断点即为奇点。
( M7 F9 M+ }3 Z6 F, @5 o4 @6 J* Y由上面论证可知，Fx(x,y,z,t)=0 这样的点是泊松方程（Navier-Stokes方程)在流场中定义域上的奇点。另外， 我们用能量梯度理论也已经精确地证明了，在压力驱动的流动中，这样的点必然发生流向速度的间断[2]。采用两种不同的方法得到的结果可以互相佐证。
（3）Navier-Stokes方程在流场中的奇点处速度导数不存在，所以是没有解的。因此，即使方程在流场中奇点以外的其他点上都有解，但由于奇点处没有解，流场的解是间断的，是不光滑的。我们得到结论：Navier-Stokes方程在转捩流动中是不存在光滑解的。
2 D# A  w  w9 [  g（4）对湍流流动(turbulence)，由于流场中非定常的旋涡的存在，其瞬时流动分布，存在大量的奇点（Fx(x,y,z,t)=0的点）。实际上，湍流的维持就是依靠这些奇点存在而实现的。因此，对湍流流动，Navier-Stokes方程不存在光滑解。
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需要指出，上述奇点的出现是因为，三维空间的平面channel流动(plane Poiseuille flow)的泊松方程的源项是不能任意的，必须大于零的（或者小于零，即速度沿x负轴方向流动）。从物理学上考虑，就三维空间的平面channel流动来说，对层流流动和湍流流动，这个给定的源项的约束定义，都是必需的。否则，这个问题就不是 well posed。如果我们讨论的是两个平板间的三维的热传导问题，其泊松方程的源项是可以任意的，而源项为零的点就不是其泊松方程的奇点（因为是具有定义的点）。具有不同的约束性质的这2个问题，不能统一按一般泊松方程的特性来讨论。

6 Y# {2 ]! t7 B, _. C; [8 _结论：对转捩流动和湍流流动，纳维-斯托克斯方程的解的存在性与光滑性问题，答案是否定的。
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参考文献
5 m- z. F3 q' B: ?+ `1.   Fefferman, C.L. Existence and Smoothness of the Navier-Stokes Equation; Clay Mathematics Institute: Peterborough, NH, USA, 2000; pp. 1–6.
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2.   Dou, H.-S., Singularity of Navier-Stokes Equations Leading to Turbulence, Adv. Appl. Math. Mech., 13(3),2021, 527-553.  https://doi.org/10.4208/aamm.OA-2020-0063      https://arxiv.org/abs/1805.12053v10  
3.   Dou, H.-S., No existence and smoothness of solution of the Navier-Stokes equation, Entropy, 2022, 24, 339. https://doi.org/10.3390/e24030339





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