HF.074 | “数学显微镜”——小波分析

 小波（Wavelet），顾名思义，指“小的波形”。所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。与Fourier（傅里叶）变换相比，小波变换是时间（空间）和频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号（函数）逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破，因此人们常把小波变换称为“数学显微镜”。

小波分析在水文学领域应用广泛，常用于水文多时间尺度分析，分解水文序列，如降水、流量、水位等，以提取其不同的时间尺度成分，如趋势、周期、突变等，揭示水文过程的内在规律和变化机制。小编将以济南市莱芜站点1951-2021年降水量数据为例，应用MATLAB 2020a Wavelet Analyzer工具箱对其进行小波分析。

01

分析逻辑

02

具体步骤

1.数据距平处理

数据距平是指数据与其长期平均值的差值，在对年降雨序列数据进行小波分析前，通常需要进行数据距平处理，以消除数据的季节性和周期性变化，使数据更加平滑和稳定。数据距平处理如下图所示：

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2.数据边界效应消除

小波分析是一种将信号在时域和频域上同时进行分析的方法，它可以提取信号的局部特征和周期性。但是，当信号是有限长度时，小波分析可能会受到边界效应的影响，导致信号的边缘部分的分析结果不准确或失真，为消除或减少边界效应，常常需要对信号进行延长，即在信号两端添加一些数据，使得信号看起来更加平滑或连续。延长的数据可以是信号本身的一部分，也可以是根据信号的性质生成的一些数据。

详细操作为：

①将距平后的年水量数据导入到MATLAB中，并保存为.mat格式。

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②采用wextend函数对降水数据进行对称延长，并绘制延长后的数据，代码如下：

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% 周期延长的长度L = 36 ;% 计算延长后的序列x_extended = wextend('1D','sym',x1,L);% 绘制延长后的信号x = 1:length(x_extended)plot(x(1:36),x_extended(1:36),'r',x(36:107),x_extended(36:107),'b',x(107:143),x_extended(107:143),'r-')% 添加图例legend('Front Extended Singal','Orginal Data','Later Extended Singal')

图 / 延长后的数据

3.计算小波系数（复数）

①在命令行输入waveAnalyzer，调出MATLAB中的小波分析工具箱；②选择one-Dimensional中的 Complex Continuous Wavelet 1-D，并通过File—Local Signal导入延长后的降水量数据；③Wavelet选择cmor，点击Analyze，计算复小波系数。

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4.计算小波系数的实部、模、模方和方差

小波分析计算结果为延长后降水数据的小波系数，需要删除延长数据对应的小波系数，删除前36列与后36列。计算小波系数的实部、模、模方与方差，代码如下：

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% 计算小波系数实部coefs_real = real(coefs)% 计算小波系数的模coefs_abs = abs(coefs)% 计算复小波系数模的平方coefs_sq = coefs_abs.^2% 小波方差coefs_var = var(coefs_sq,0,2); % 按行计算

上述所得的小波系数为复数，其中：小波系数的实部是指小波系数在实数轴上的投影，它可以表示信号的对称性和偶性；小波系数的模是指小波系数的绝对值，它可以表示信号的振幅和能量；小波系数的模方是指小波系数的模的平方，它可以表示信号的能量密度和功率谱；小波系数的方差是指小波系数的模方的平均值，它可以表示信号的能量分散程度和平稳性。

5.绘制小波系数实部、模、模方等值线图

分别绘制小波系数实部、模、模方等值线图，代码如下：

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% 绘制小波系数实部等值线图/模等值线图/模方等值线图% 定义横坐标和纵坐标x = 1951:2021; % 年份y = 1:64; % 周期尺度% 绘制等值线图contourf(x,y,coefs_real) % 设置色带的颜色方案，例如 'jet' 或 'parula' 或 'hot'/'cool'/'coolwarm'colormap('jet')% 添加色带的标注colorbar% 调整色带的范围，例如 [0 1] 或 'auto'caxis('auto')% 添加坐标轴标签xlabel('Year')ylabel('Scale')

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6.绘制小波方差图、主周期趋势图

使用散点图绘制小波系数方差图，使用折线图绘制小波系数主周期图，绘制如下：

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03

替代步骤

● 绘制小波系数实部、模、模方等值线图

若对MATLAB语言不熟悉，推荐使用Surfer软件进行等值线图的绘制，下述操作主要利用Surfer 8.0进行，以小波系数实部等值线图为例。

1.数据网格化

将小波系数实部数据按照图中格式排列，以保证被软件识别，即列A为具体年份，列B为时间尺度，列C为不同年份和时间尺度下所对应的小波系数实部值。

在Surfer 8.0软件中，将排列后的数据进行网格化处理（网格—数据—打开），该步骤可根据需求选择多种网格化方法，将数据转化为.grd格式。

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2.等值线图绘制

在Surfer 8.0软件中，选择“地图—等值线图—新建等值线图”，打开上一步骤中生成的.grd文件，完成等值线图的绘制并保存，双击图层可对图片进行个性化调整，绘制结果如下：

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