流体力学中重要“涡粘性系数”

oceaner · 发表于专题研究 2021-12-6 22:20:03

记得很小的时候，特别喜欢用手把脸盆里的水搅成一个漩涡，然后看着漩涡的速度慢慢降下来，直到整个脸盘里的水趋于平静。彼时，只会玩泥巴的小编只能看着这种有趣的现象一边傻笑，一边因为不小心把水洒在地上而被妈妈揍屁股。直到多年以后，在《流体力学》的课本上结识了粘性，小编开始理解生活中许多习以为常的流动现象，也认识到原来粘性如此重要…

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粘性的表象

“粘”，是古汉语规范字“黏”的通俗字形式，意为橡胶或糨糊一样的性质。而英文中viscosity一词，则是来源于一种植物的拉丁文名称“viscum”，也就是槲寄生，其浆果具有黏稠的特性。

在流体力学术语中，粘性指的是流体抗拒变形的能力。粘性越大，其抗拒外界剪切力作用的能力越强，比如搅动杯子里的水轻而易举，但搅动糨糊或者糖浆则有些费力。

对剪应力毫无抵抗的流体被称为理想流体或者无粘流体。不过，只有在极低温度下的超流体才会呈现无粘的属性，而我们常见的液体或者气体都是有一定粘度的。具有极高粘度的流体则在一定程度接近固体属性，比如常温下的沥青。

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粘性的机理

我们都有这样的生活经验，粘稠的液体加热后，通常粘度会降低。比如公园里做“转转糖”的老大爷，通常要把糖浆加热到一定的温度，才能流畅的做出各种造型。再比如在寒冷的冬季，车辆在启动的一段时间内感觉到动力有一定的下降，换挡也不如平日那么顺滑，也主要是由于发动机、变速箱等动力部件内的润滑油粘度增加而引起。

大部分液体的粘性都会随温度上升而降低，但气体却恰恰相反——通常而言，气体的粘度随温度升高而增大。而液体和气体之所以有如此大的差异，是因为它们产生粘性的机理不同。

下图对比了固体、液体和气体的分子排列示意图，可以看出来，固体分子排列紧密且有序，分子之间被分子力牢牢控制而难以发生随意的运动。液体分子则不会保持固定的形状，但它们仍然致密排列，就像游乐场里的海洋球，因此，液体的分子之间仍具有一定的分子力，而这也是液体粘性的主要来源。

液体分子由于分子力的存在而产生了相互的“纠缠”。而所有的分子或者原子都在自身附近做无规则的振动，当液体温度升高时，这种振动加强导致分子之间的“纠缠”变得松松垮垮，因而液体的粘度降低。事实上，局部振动也会引起液体粘度降低，比如陷入泥潭的动物越挣扎下沉的越快。

而气体分子排列稀疏，分子之间相去甚远，分子力不再是动量传输的主导，而分子间的相互碰撞则成为粘性的来源——比如上层分子运动的同时，也源源不断到下层串门，把邻居家也搅得鸡飞狗跳，带来动量的交换。而气体温度升高时，这种“串门”就更加频繁和剧烈，下层也愈发鸡犬不宁，粘度自然增大。

当然，液体内部也会存在类似于气体一样由于“串门”产生的动量交换，不过相比于液体的分子力而言还很小，不足以主导粘性变化。

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粘性的科学表达

正如前面所说，人们很早便感受到了流体具有“粘”的属性，但是如何从科学上表达流体的粘性成为了一个新的问题。作为世界物理学界金字塔尖的男人，牛顿几乎霸屏了整个中学物理课本，当然也没有放过流体。1686年，牛顿经过大量的实验研究，提出了著名的“内摩擦定律”——流体的内摩擦力（即粘性力）的大小与流体的性质（粘性系数μ）有关，并与流体的速度梯度和接触面积成正比。

自牛顿之后，粘性系数成为描述流体属性的一个重要参数，人们可以直观的感受到，粘性大的流体不容易流动，而粘性小的流体很容易动起来，但是如何用流体力学的语言来描述粘性与流动的关系成为了一个问题。

距离“牛顿内摩擦定律”大约两百年之后，还在原来的地方，另一位著名的英国物理学家雷诺通过经典的流体染色实验揭示了流动与粘性的关系：相同的速度、密度和流动尺度条件下，粘度更低的流体更容易趋向于某种混乱的、弯曲的流动，也就是我们后来熟知的湍流。又过了20多年，著名的物理学家索末菲在第四届国际数学大会上第一次明确以“雷诺数”命名了流体力学中最重要的无量纲数，而粘性系数便是雷诺数中不可替代的分母。

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粘性与湍流

随着雷诺实验和雷诺数被提出来以后，近代流体力学，尤其是湍流理论的发展出现了一个前所未有的盛况，而粘性与湍流的关系也顺理成章的转化成了雷诺数和湍流的关系。1974年刊登于《流体力学》期刊中的一篇经典文章，通过流动显示技术生动形象的描绘了雷诺数和流态的关系：随着雷诺数的增大，涡旋的整体形状和尺度基本一致，然而射流掺混的涡系结构却越来越丰富。

而之所以会出现上图中的有趣现象，则要牵扯到湍流的生成、传递及耗散：湍流中的大涡会破碎为小涡，小涡再破碎为更小的“迷你涡”，然后逐渐耗散，这个过程与当地雷诺数相关。当“迷你涡”变得足够小时，根据角动量守恒，涡的角速度将会非常大，意味着局部速度剪切很强，粘性就变得举足轻重了，于是，“迷你涡”就这样被粘性耗散掉了。事实上，涡的尺度足够小时，体现为当地雷诺数非常小，粘性力对流体的影响则显著大于惯性力。

在给定特征长度（大涡尺度）和特征速度（湍流脉动速度）的条件下，流体的粘性几乎决定了耗散涡的大小，即湍动能在什么样的尺度上耗散。大涡的形态取决于几何尺度，当雷诺数足够高且几何尺度不变的情况下，增大雷诺数并不会改变大涡的形态，但是小涡的尺度取决于湍流雷诺数，雷诺数越高的流动需要越小的涡尺度才能完成耗散，因此雷诺数越高的流动，其大涡到小涡的覆盖尺度越复杂。

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粘性与流体力学

虽然早在1686年，牛顿就通过实验测得了流体的粘性，可是，当我们携带着粘性回归到流体力学的时候，还是会发现由于粘性的存在，使得实际流体运动的研究变得非常复杂。为了便于理论分析和公式的推导，物理学家们在流体力学中引进了“理想流体”的概念。

理想流体当然是假想的，不过研究无粘流体的运动，可以使问题大大简化，容易得到流体流动的基本规律。1755年，数学家欧拉将微分方程应用到了流体力学的领域，并提出了影响后世的欧拉方程，即牛顿第二定律施加到理想流体上的微分方程。

欧拉提出欧拉方程后不久，人们就认识到方程中缺乏粘性项，这会导致欧拉方程的计算结果和实际产生偏差，比如大家熟知的达朗贝尔佯谬。下图显示了理想流体和实际流体下圆柱绕流的对比，可以看出，无粘流动的结果和实际存在很大的差异。因此，如何在流动方程中添加粘性项成为了跨越百年的流体力学难题。

后来的我们都知道了《流体力学的“白月光”》的故事，直到1845年，结合纳维对粘度的思考和柯西的张量思维，斯托克斯爵士便大展神威，推出了引无数流体人尽折腰的“N-S方程”，该方程定义为“描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程”。迄今为止，该方程仍然是流体力学领域里最通用的流体运动方程。

值得一提的是，对某些粘性影响不大的流动问题，忽略粘性所得到的结果与实际结果往往差别不大。而对于高雷诺数的湍流，在主流中使用欧拉方程，而在粘性影响较大的边界层中使用边界层方程或者经验公式，也能得到不错的结果。

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物理粘性之外的粘性

粘性是流体流动的稳定器所言非虚。而CFDer都知道，对于数值计算而言，粘性也至关重要。不过在传统CFD算法中，除了物理粘性之外，还有湍流粘性和数值粘性两个妖魔鬼怪。

湍流粘性

湍流粘性来源于雷诺平均的N-S方程，下式中多出来的脉动应力项，称之为雷诺应力。1877年Boussinesq借助于牛顿切应力公式，提出了影响深远的涡粘性假设：雷诺应力正比于时均速度梯度，其中比例系数μt表征了湍流脉动引起的切应力效应，称为涡粘性系数。

湍流粘性虽然是人为定义的，但是也具有相对清晰的物理含义：由于湍流的“上蹿下跳”，给不同速度的流体带来更多的动量交换，类似于物理粘性对流动带来的影响。当然，湍流粘性的更大意义在于，CFDer们逃脱了直接求解NS方程的魔咒，转而走向CFD的工程实用化。

数值粘性

而数值粘性则完全是从微分方程离散到差分方程的过程中产生的误差。从数学推导而言，相比于原始的微分方程，从差分方程导出的修正方程中有多余的项。其中二阶项的系数对应常规N-S方程中二阶项的系数，类似于方程中的物理粘性，因此被称为数值粘性。

数值粘性实际上是来源于空间离散的步长是一个有限的小量（而不是无限小），这引起了物理变量在这个小范围内的平均，其效应相当于扩散，并带来了额外的动能耗散，也即是粘性。

不同于湍流粘性有相应的物理含义，数值粘性则由对方程的离散处理而来。增加数值粘性对流场的影响，本质上和增大物理粘性类似，比如使分离区减弱、激波变宽抹平等，本质上改变了整个流场的熵。而从雷诺数的角度理解，增大数值粘性意味着减小了有效雷诺数，从而改变了流态。

从网格离散的那一刻起，数值粘性便隐含在离散方程的迭代中，降低了解的精度。不过数值粘性也常常有利于收敛，堪称CFD的稳定器。而在许多CFD的应用中，数值方法中隐含的数值粘性还不够，求解容易发散，因此人们还会显性添加更多的数值粘性。在《计算流体力学基础及应用》的书中，作者建议道：对于那些必须使用人工粘性的问题，审慎的运用大概率都能获取合理的、有时甚至相当精确的解。但重要的是，你必须知道自己在做什么。

结语

粘性作为流体的稳定器，多年以来让CFDer们又爱又恨。而给自己的程序中添加粘性时，我们仿佛化身食堂打菜的大妈，每舀起一勺总要忍不住抖三抖，生怕加的多了。不过望着窗外可怜的快要发散的小眼神，又忍不住纠结起来。

流体力学中重要“涡粘性系数”

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