流函数 是空间中的一个场，用它可以表示平面不可压缩流体的速度：" x- E) I, r6 J* l
9 {& {( }$ a5 ?! U, E. x# ?5 r7 I9 ~ |* N# x5 a+ ~( r
% j: @/ v" }9 f; w1 V3 {9 ^" }
% T* p. }( M) F' e8 u7 T6 E
: i! ~! o1 H+ U
这样二维平面上的连续方程就能自动满足。
) N; \7 c- k# z1 i( t8 g2 y我们的目标是要根据这两个式子求流函数标量场。可以想象，这两个式子规定了场 在 方向和 方向的变化，并不涉及具体的数值。因此，我们需要给定一个流函数的积分零点（求 - [8 E. S6 a. X' q9 ~9 N
实际就是求积分），我们可以设:
, K: h4 x! D1 u% }- ?; i
& s' L: I+ G" }) W# U% g, O( \# j/ {% ~ |- Z
从这个点积分到任一点 。首先， 对y积分，有：$ X. B# W0 T6 C' _- G/ i# w6 e; @
6 R# S g+ d) V# L9 p! b! \6 M3 c
% Y0 C3 G; m+ ]# S
) s2 f% [9 T6 ?' u/ [2 e3 J
; x7 J6 J) e$ u! Z( N& @4 p: ~# E( Q! j9 t6 T) h, d9 Q! ~
左边的积分式子，可以直接根据速度场求解，即： 0 _: W% V6 A3 e, }) \; z" @2 l& R" I
0 V8 n, B& L3 @9 L8 w
现在只需要求出 ，就能求出我们需要的 。通过观察发现，在 中令 即可得到我们想要的结果：/ r1 T0 S' P( i+ N
: g, a# C/ R. t& l! V7 ]" j! d
# @$ E0 U4 E( q5 |6 W' T- U4 `$ R
# b7 l3 @9 ^; m% S9 \4 S
最终有：
' U( S& n" `1 a G
- I" C% D& O+ N3 Y( H$ r. t* W) g0 v6 V' o1 S1 }, ]! {$ ~9 q
或者可在 中令 代入 ，有：
4 m3 K& K. H& N4 q+ S% o, x- F2 N& p
3 ]# D l! T2 M+ X+ f, |2 [* n' n5 W
; L: t( K% Q! K Z7 |5 g
这样，利用 和 就可以进行流函数的编程计算。
; K+ O- _' c9 T9 C7 G }
1 _/ }6 L1 S s2 O+ E值得注意的是，可以对求得的流函数加减常数，以使需要的陆地岸界为0。1 K7 s6 O2 B1 b" Z% {0 w* s
+ k5 ]) p1 b, e4 _4 H9 C |
