流函数 是空间中的一个场，用它可以表示平面不可压缩流体的速度：! @& r: \0 a2 Z4 S4 X* V
; T V$ ]$ ?+ K- P# V! q F
& Z5 w' `8 Z' } M8 i$ t4 z
2 C( ]. @& p- O* {& Q4 R* t4 s
: _; W* J. E% q3 B9 C
$ J& F/ F. A" H这样二维平面上的连续方程就能自动满足。; H$ _" ?: A' F: P' d
我们的目标是要根据这两个式子求流函数标量场。可以想象，这两个式子规定了场 在 方向和 方向的变化，并不涉及具体的数值。因此，我们需要给定一个流函数的积分零点（求 # y% O7 z: b6 ]% o( w
实际就是求积分），我们可以设: }' r* Y" p) {) u5 ?: |
# I! v$ {! t3 u( \( [
) T" j! I3 r) R/ b$ |9 g8 v2 v% a! l7 F 登录/注册后可看大图
从这个点积分到任一点 。首先， 对y积分，有：
0 r& y" j* B& Z( ^$ G& }0 u
0 y* P/ `1 J1 S# a, ~- A8 |% ]; }4 i+ t7 P' v
& |# ]/ k% z C6 `. U2 u
1 D/ S6 n9 y( ?* q% R
$ y: g7 M% U, J' l* |
左边的积分式子，可以直接根据速度场求解，即：
% W$ i* W2 F1 @: W9 w8 n) ?1 i ` j. J; V7 j1 T' D( A4 z% v7 m2 Z
现在只需要求出 ，就能求出我们需要的 。通过观察发现，在 中令 即可得到我们想要的结果：
) K: x* {/ |+ I8 U/ N( K; b
/ B/ ^) q, n8 X! ?* T6 f1 f
3 e* M" }2 a j8 J6 o" O& J+ @
6 |6 O, E; [/ r/ ~9 m* b* L" A& N最终有：
- r' Y+ N" y3 h% L( F5 ?0 u6 p# H- I$ F* }
8 N0 g6 i& H8 m1 N6 \! Z
或者可在 中令 代入 ，有：
6 k- R5 Y' E0 @7 w" D- u8 _" C7 b: d6 Q3 _
& n8 }% B2 D( l* j* o4 _" u4 X6 C$ Z) M0 M; c4 ?" c
这样，利用 和 就可以进行流函数的编程计算。; w3 p9 l: a$ p
4 }8 O b0 |, _2 }
值得注意的是，可以对求得的流函数加减常数，以使需要的陆地岸界为0。% @$ c1 ?% R7 n
- |2 Q; ]: A1 I+ S' T+ _8 o |
