流函数 是空间中的一个场，用它可以表示平面不可压缩流体的速度：9 k6 c# i' r1 ?' W7 u
- H y3 {5 Z: S, @! C& j, q0 g: N1 k* a6 q- y# Q W
4 m" o7 K) A+ V& _5 n
2 |# E! q, l# K; Q8 p
# h% F1 B0 b( K' H! k
这样二维平面上的连续方程就能自动满足。) @* _. D. _* c3 e/ M
我们的目标是要根据这两个式子求流函数标量场。可以想象，这两个式子规定了场 在 方向和 方向的变化，并不涉及具体的数值。因此，我们需要给定一个流函数的积分零点（求 3 W" {- a; ^' q& }* k
实际就是求积分），我们可以设: / ?+ E. [. w# O/ I9 {
/ z7 A0 m" [, b1 [! M) ?0 c9 [: z1 q* W5 d0 ~- K
从这个点积分到任一点 。首先， 对y积分，有：2 C6 p8 h5 D9 b# E
, i, v6 \) {5 j) p+ E, B& M$ T4 m
, J9 j# a" t8 c! A" U6 p, U. h" h
' F& o% n* |# L: p' _: H* h; n1 \8 q3 m
左边的积分式子，可以直接根据速度场求解，即： / b7 n; k8 n1 P9 l9 I1 t' k& F8 M+ u
) e& C7 k1 B5 j- _) }# l# w: J
现在只需要求出 ，就能求出我们需要的 。通过观察发现，在 中令 即可得到我们想要的结果：4 R) p1 P! h% U, Q/ Z
4 ^# t( b5 g9 z3 k
n a0 \- ?) R, X- \8 ^: E: E) B0 ?4 B; y: ^
最终有：! d2 f, }! Q4 y/ l, Z% ]
4 G# ^7 Y: x' h- j) {! f9 ]0 c. `4 L
或者可在 中令 代入 ，有：
" B7 j; _: q4 {; k# A1 W& x6 H. V& D3 Q' W
# ]* q/ E- j I( m, m" c2 Q8 B6 a1 i. x% F n& p
这样，利用 和 就可以进行流函数的编程计算。
- {8 `' m* Q- _# o$ Q" `+ _6 s+ ^% Z, X9 R: G. g
值得注意的是，可以对求得的流函数加减常数，以使需要的陆地岸界为0。7 w* V4 t7 v5 N
6 N2 T: h5 R( c" S. a3 G' q
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