世界数学难题: 纳维-斯托克斯方程会得到解决吗？

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图 1 纳维-斯托克斯 （Navier-Stokes）方程（1821-1845）

2005年曾经是世界爱因斯坦科学年，是为了纪念爱因斯坦1905年发表的那三篇划时代的学术论文100周年（布朗运动，狭义相对论，光电效应）。
2005年，也是美国Science杂志创刊100周年。在庆祝创刊125周年之际，Science公布了125个最具挑战性的科学问题，作为下个世纪的奋斗目标。其中之第122问题为：纳维-斯托克斯问题会得到解决吗？（Will the Navier-Stokes problem ever be solved?）。
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2 j( D/ }$ U: O( e% {在16年之后的2021年，随着科学的不断突破，许多问题得到一定程度的解答，一些问题也更加深入，上海交通大学携手Science杂志发布了“新125个科学问题”。 Navier-Stokes （NS）方程问题位列第二（数学类）。
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图 2 法国科学家及工程师纳维和英国物理学家数学家斯托克斯

1 }' ^  ^" p+ T3 ?; X2 I8 h5 nNavier-Stokes（NS）方程是法国科学家纳维和英国科学家斯托克斯建立的，是支配流体运动的方程，至今已有200年的历史 （图1和图2）。人们认为NS方程是描述湍流的正确方程，现实工程实践已经证明了这个看法基本是对的。可是，对于NS方程的数学和物理学特性，科学家对它了解甚少，尽管在工程中已经获得了广泛应用。另外，自从雷诺1883年在曼彻斯特做了那个著名的层流-湍流转捩的圆管流动实验以来，也已经过去了140年了，湍流的机理仍不清楚。
" g, K/ T  `5 a6 i; NNavier-Stokes方程是否存在光滑解的问题也是美国Clay数学研究所在2000年所确定的数学方面的7个千禧年大奖难题之一， 至今没有答案。
6 E$ \) m2 I  wDou(2021，2022)的文章分别用能量梯度理论和泊松方程分析方法，对Navier-Stokes方程问题进行了精确的证明，首次发现了NS方程的奇点（速度间断），研究结论是对转捩流动和湍流，NS方程不存在全局域上的光滑解。这些理论结果，与各种流动的大量实验数据和数值模拟结果获得了一致 [1-3]。
因此，对“纳维-斯托克斯问题会得到解决吗？”这个问题已经有了答案。或者说，实际上这个问题已经解决了 [1-3]。
同时，湍流产生的百年物理学难题也解决了，作者发现了湍流产生的机理是：湍流产生的必要充分条件是流场中出现NS方程的奇点（速度间断）。这样，对湍流产生的问题，NS方程的光滑解问题，作者确信地说，这2个问题都已经解决了。
7 ]: b/ U4 n; n- w7 J- F9 U; [5 S许多读者认为，作者的文章发表后2-3年以来[2-3]，没有人出来公开肯定，也没有人公开否定。网友留言认为，就这2个科学问题的难度及重大科学意义，应该可以引起科学界非常大的反响甚至引起轰动。为什么没有？
那么，既然解决了这么重大的世界级科学难题，而且是2个问题同时解决，一个是数学问题（NS方程光滑解问题），一个是物理学问题（湍流产生之谜），为什么没有引起国内外学术界的轰动？原因可能比较复杂。作者认为：
2 ^2 d% C4 p5 _' ~（1）第一主要是因为论文没有发表在顶级期刊上。而是发在了2个SCI三档和四档的期刊上[2-3]，所以不会引起那么大的轰动。现在，大家看看，只要发表在Nature和Science上的文章，是多么风光。作者也投到了流体力学专业的最好的国际期刊上，被拒稿了。评审人和编辑没有指出论文中的任何错误，只是不建议接受。

（2）第二是作者采用的2个理论分析方法比较另类。能量梯度理论（物理学）和泊松方程分析方法（数学），都是不同于目前各个学科大家通常所采用的方法，很另类，人家不了解，是作者独创的2个方法。那么，为什么不用大家通用的方法？原因是，所有现有的方法也都用过，用这些方法解决不了，作者才创立了这么2个方法。不管采用什么方法，从数学和物理上解决了问题才是目的。需要强调的是，针对平面Poiseuille流动，2种方法的结果相同，均严格精确地证明了Laplace为零的点是NS方程的奇点。而奇点引发速度涨落，导致湍流。
有没有人认真思考过，为什么湍流这个问题100多年都没有解决了？湍流转捩/湍流产生的原因都不知道？到底是不是思路错了？
著名科学家，普朗特、泰勒、冯卡门、Kolmogorov、林家翘、Bachelor、Orszag，包括诺贝尔奖获得者海森堡、费曼、朗道、Chandrasekhar、Onsager，为什么没有解决湍流，为什么有的人后来放弃了？他们的思路和方法都是正确的吗？（改行的有：海森堡：量子力学；Chandrasekhar：天体物理；Onsager：非平衡态热力学；林家翘：天体物理；Bachelor：悬浮流动）。
8 @, ^1 w$ J* M6 O/ H+ r（3）第三是人们的判断能力问题。所提的问题关乎到数学，物理，流体力学及工程，这样几个学科。哪一位读者或者大牛，如果不去阅读大量文献，就具有这样的判断能力? 国际国内大牛从事NS方程光滑解这个方向的，都是数学家，他们用的是数学不等式的函数分析方法，对湍流了解不一定很多。而研究湍流的人都是流体力学和CFD的人(APS，AIAA，ASME相关)，都不怎么关注NS方程光滑解的问题。而且这2个领域都几乎没有交集，发表论文的期刊和参加的学术会议也都是不一样的。因此，对于作者的研究成果，就目前知识，做出这个判断的难度比较大，如果反对错了，或者支持错了，哪一位大牛也不想将来去承受这样的尴尬。湍流这个古老的学科，短期判断看来很难；并不像超导，基因编辑，一出成果，那么容易引起轰动。
作者认为，科学研究的目的是追求真理，正确的科学发现（discovery），终究会得到承认，就像哥白尼的太阳中心学说一样。科学研究不能追求暂时的风光和轰动，如果对科学发展没有实质性的创新性的贡献，风光之后会是一地鸡毛。翻看一下科学史，历史总是公正的。
关于能量梯度理论方法，以前曾做了介绍 [4-5]。今天以更通俗的语言，介绍利用泊松方程分析的方法，证明奇点是否存在的思路和概念（Dou 2022）, 也即主要讨论泊松方程（NS方程）的奇点问题 [3, 6]。
（一）数学上奇点的定义
英文维基百科数学上奇点的定义如下:
Singularity or singular point may refer to: Mathematical singularity, a point at which a given mathematical object is not defined or not "well-behaved", for example infinite or not differentiable.
& w7 X* S: ]; J& o2 F奇点一般指的是这样的点，在这样的点上，一个给定的数学概念（变量或者函数）未被定义，或者特性异常，例如无穷大或者不可微分。
3 p" q4 R' }) ~) c8 g（二）NS方程的奇点的定义
根据数学的定义，NS方程的奇点应该是这样的点，在这样的点的位置，变量（u, v, w, p, 其中一个或几个）趋于无穷大，或者不可求导。
8 e( t2 p" }! x- e, N. @& B& FLeray (1934) 给出的定义是，NS方程的奇点为速度或动能为无穷大（blowing up）。数学家研究了近100年，到现在也没有人发现这类奇点是否存在。即没有肯定也没有否定。需要明确指出的是，现今对湍流的大量的DNS数值计算结果，从没有发现NS方程的速度或动能为无穷大。作者认为，NS方程发生blowing up的可能性非常小。
! V( V1 v' A% L( O/ `Leray（1906-1998）是著名的法国数学家，1979年Wolf数学奖获得者，比前苏联著名数学家Kolmogorov（1903-1987）获得Wolf奖早了一年（图3）。
Dou (2021，2022) 所发现的NS方程的奇点，必须是在非定常流动中，此点位置速度发生瞬时间断（不连续），在此位置速度不可求导。两篇文章分别采用了2种不同的方法进行证明，结果相同 [1-6]。

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图 3 法国数学家J. Leray （1906-1998）和 前苏联数学家A. N. Kolmogorov （1903-1987）

9 @7 t" S$ d" T6 x（三）判定NS方程的光滑解就是寻找NS方程的奇点
9 Y( r8 V8 |9 `确定NS方程的光滑解的问题，实际上就是寻找NS方程的奇点的问题，也就是原先给定的没有奇点的初始流场，随着时间增长，会不会演化出来奇点。或者说，也就是证明一下，NS方程里的求解变量，在给定问题的定义域里，随着时间变化（有扰动影响），是不是处处连续光滑、可微分的。
# f; q& x  _6 ^( p0 p  F  r) r如果严格精确地证明了NS方程不存在奇点，那么变量都是处处可微分的，方程可以积分，那么NS方程就有光滑解。
如果严格精确地证明了NS方程存在奇点，奇点处不可微分，方程就不能积分，那么NS方程就没有光滑解。
7 e  L) k9 j" k7 ~+ @- c" u在上述两种情况下，对千禧年难题给出的问题，NS方程是否可以求解，答案已经清楚，就没有必要进行偏微分方程的复杂的数学不等式的函数证明了。

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图 4 泊松 S-D Poisson （1781-1840）and 拉普拉斯 P-S M de Laplace (1749-1827)。他们都是法国数学家。

（四）泊松方程方法确定NS方程的奇点
. ^: L* K+ C( x  k1 i/ ]( `. xNS方程的数学问题与两位著名的法国数学家有关（图4），泊松和拉普拉斯。
NS方程可以写为泊松方程的形式，Nabla^2 u(x,y,z)=Fx(x,y,z,t)，这里是针对不可压缩流体的三维非定常流动。如果源项为零，则泊松方程就变为Laplace方程。对于NS方程来说，对平面Poiseuille层流流动，为了问题的适定性（well-posedness），必须定义源项Fx(x,y,z,t)不为零（这样也就是Laplace算子不为零，实际上是小于零）。
在时间起始后，在扰动作用下，如果流场里存在Laplace算子为零的点，这个点就成为了泊松方程的奇点。
研究从层流，到转捩流动，到湍流。我们发现在转捩流动中，流场中存在Laplace算子为零的点（在拐点附近），此点的变量值跑出了原先的定义域之外，此即奇点。所以研究结论是对转捩流动和湍流，不存在NS方程的全局域上的光滑解。
' _6 r' w4 k; n1 P6 j为什么Laplace算子为零的点就成了泊松方程的奇点呢？这是由NS方程的特性和平面Poiseuille流动的边界条件所决定的。对平面Poiseuille层流流动，我们已经定义了Laplace算子不为零。在转捩流动中，在扰动作用下（此时仍是层流），流场里突然出现了变异的点，Laplace算子为零了。那么这个点就成了没有定义的点，成了奇点了，它跑到了原来的定义域之外去了 [3, 6]。
4 X" m" d  v% |: `) s% d8 [Laplace算子为零时泊松方程的解是什么呢？对两个平行平板间的压力驱动流动，在边界无滑移条件下, 是速度u=0。因此，NS方程奇点的意义，已经非常明确了，流场出现了“洞”，速度分布出现了间断。在实际的流体的流动中，由于流体粘性，此点速度不是严格地u=0，而是表现为速度负的spike。比如来流速度为u=1.0，在奇点位置，速度突变发生后为大约u=0.3~0.7，这个结果已经得到了所有获得的大量实验数据和DNS模拟结果的验证（图5）。

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6 N0 t1 H1 \) |, l图 5 流场中奇点产生，理论预测与实验结果对比。上面是特殊位置点（拐点附近）的瞬时速度分布。下面是上游扰动的信号记录。（a）理论预测结果（Dou 2021, 2022）。（b）实验测量结果（日本，西岗通男等1981）。
（五）数学奇点的类似概念的比较容易理解的例子
# X3 l5 ]: v5 R& q; [! X$ d（1）举一个例子，一个栏里，圈了100只山羊。记住，这都是山羊。突然一天，养羊的人发现其中有一只羊变异了，不是山羊了，变成绵羊了（可能吃了什么食物或药物，可以理解为物理学上的扰动），那么这只羊就是奇点。它跑出了原来的定义域（100只山羊），跑到定义域外边去了，成为了没有定义的点。
0 Q4 Z1 j5 i) v3 j（2）再举一个例子，有一缸水，定义它的组分为q(x,y,z)=1，在定义域内，函数q处处光滑连续，处处可以求导。经过日晒风吹（这起到了扰动的作用），突然有一天，水里面出现了一个气泡，这样水的组分q就不全部是1了。里面有一点，组分变成了q(x,y,z)=0。就这样，这一点就变成了奇点。这一点跑出了原来的定义域，成为了没有定义的点，此处水的组分函数q已不再连续，因此也不是处处可以求导。如果用数值方法来求解，函数q(x,y,z)就没有连续的光滑解了。
9 Z% c2 \* y) M- }# \0 T9 h6 G4 W（六）对热传导问题，Laplace算子为零的点不是泊松方程的奇点
' D5 W- \8 x7 y8 ]9 t4 O4 F论文审稿人（第4位）提出，“Laplace算子为零的点是泊松方程的奇点”是错误的，没有科学依据。作者进行了回答，这个结论是有条件的，是不是奇点取决于对具体物理问题的定义，还有边界条件；对不同的物理问题，结果是不同的。对平面Poiseuille流动是奇点，而对同样的泊松方程，同样的物理几何，对热传导问题就不是奇点。
0 B2 U/ C1 @7 N  N对热传导问题的控制方程可以写为泊松方程的形式，Nabla^2 T(x,y,z)=S(x,y,z,t)，这里T是温度。如果源项S(x,y,z,t)为零，则泊松方程就变为Laplace方程。给定两个平行平板间的流体，对于热传导方程来说，对源项的数值大小没有限制，S(x,y,z,t)可以大于零、小于零或者等于零，方程都是适定的，都有物理意义；在这些情况下，解的结果都符合物理学原理。
/ ~% p& i$ T0 a即使温度场初始源项不为零，在时间起始后，在源项随时间变化或扰动作用下，如果温度场里出现Laplace算子为零的点，这仍然在原来的定义域内，泊松方程仍有意义，Laplace为零的点不是泊松方程的奇点。
, C+ l1 R) R/ @9 M) ?另外，对平面Couette流动和平板上的边界层流动，Laplace算子为零的点也不是泊松方程（NS方程）的奇点，这是由各自的边界条件所决定的。这里不再讲解了，可参考文献 [1-3]。
/ |. @9 }6 k) W$ J: n4 v0 v- n对于偏微分方程写成泊松方程的形式，如果定义域内出现了Laplace为零的点，这个点是不是奇点，取决于对所给的问题的物理定义，以及边界条件。
$ W! `, o/ r, n& r/ j（七）流场中的奇点(Laplace算子为零的点)是怎么产生的
最后，对·平面·Poiseuille流动，在层流到湍流的转捩过程中，流场中的奇点(Laplace算子为零的点)是怎么产生的呢?
6 n7 Q4 i/ M" V9 k! v奇点产生是非线性项随时间发展与粘性项相互作用的结果。具体地说是扰动与机械能的梯度相互作用的结果。它们的相互作用，导致了速度剖面发生畸变，出现了奇点。在奇点处，流体粒子消耗的机械能为零（Dou 2011, 2021, 2022，有推导过程），从而此点流体速度停止，理论上瞬时u=0 [1-5]。实际上是，速度分布出现负的spike。注意，一个扰动周期内，只有一个瞬时发生u=0 （图5）。
' |. x9 I4 o; ]( ~# d  A' I导致奇点出现的条件是基本流场的机械能梯度分布，已经基本接近奇点出现 [7], 然后扰动起的作用是促使或者刺激瞬时的机械能分布，出现奇点。就像一个人站在河边上，风一吹，他就掉到河里去了。如果你站的地方离河边还有几十米远，扰动是不会导致掉到河里的。所以对牛顿流体圆管流动，Re很小时（比如 Re < 1750 ~ 2000），扰动怎么大，也不会导致湍流。
Dou(2021,2022)证明显示，导致湍流发生的泊松方程的奇点是在非定常流动中才能产生的，定常流动中，不能产生这类奇点，所以定常流动中不能产生湍流。因此，大家看到，雷诺平均方程方法（RANS）舍去了湍流的太多信息。
例如锥形扩压器内的定常分离流动，在逆压梯度作用下，产生边界层分离，速度剖面存在拐点（图6，沿着S-I线，在此线上，因为Laplace=0，所以x方向速度分量u=0），此线上的点处处是Laplace算子为零的点，处处u=0。拐点此处速度是连续的，光滑可导的，不是奇点，是有定义的点。这个流动里，只会产生分离，不会产生湍流。
" U1 x# o( T5 ?$ O那么这个流动里，如果对以施加非定常的扰动影响，奇点会产生吗？产生时奇点会在何处？奇点如果产生，不会在图中的拐点之处，这个拐点与槽道流动或者圆管流动里的拐点是不一样的，因为它不会引起速度的间断（因分布光滑）。奇点出现的位置应该是，此处平均速度较大，在扰动作用下，会出现拐点。这样才会出现速度间断，产生负的spike，引起速度涨落。

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图 6 逆压梯度下的边界层分离流动的流场流线分布

（八）泊松方程方法的论文免费下载
泊松方程方法确定奇点（Dou 2022)的论文是开源的，可以免费下载：Dou, H.-S., No existence and smoothness of solution of the Navier-Stokes equation, Entropy, 2022, 24, 339. https://doi.org/10.3390/e24030339 。泊松方程方法证明奇点，是基于数学概念。这里期刊网站公开了4位匿名审稿人的评审意见，作者的答复，共2轮，可以阅读、下载。评审意见是否公开，编辑需要征求作者意见，作者选择了公开，也让读者了解评审专家是什么看法。注意：这个期刊不允许作者推荐审稿人，所以所有匿名审稿人都是作者不认识的人。作者也十分感谢所有的评审专家对论文提出的正面和反面意见，这些评审意见让作者学习了很多，同时提高了论文质量，也有益于读者。
2 ~7 E" D3 z8 x. B如果读者也去读一下这4位评审专家的评审意见，包括肯定意见和反对意见，一定会收益匪浅。
参考文献

1.Dou, H.-S., Origin of Turbulence-Energy Gradient Theory, 2022, Springer. https://link.springer.com/book/10.1007/978-981-19-0087-7 (全书下载地址).
2. Dou, H.-S., Singularity of Navier-Stokes equations leading to turbulence, Adv. Appl. Math. Mech., 13(3), 2021, 527-553. https://doi.org/10.4208/aamm.OA-2020-0063 (AAMM);
* f! Q# Y3 W6 P% Qhttps://arxiv.org/abs/1805.12053v10 (Arxiv) （通过物理学推导出奇点）
% f! X- C( J' N2 \' h6 k; U3. Dou, H.-S., No existence and smoothness of solution of the Navier-Stokes equation, Entropy, 2022, 24, 339. https://doi.org/10.3390/e24030339 （通过数学推导出奇点）
3 d6 _" P( @% R9 j) s/ }4.窦华书教授在纳维-斯托克斯方程问题上取得新进展，浙江理工大学官网新闻， 2021。

https://news.zstu.edu.cn/info/1033/41169.htm （此学校网页白天能打开，晚上打不开）
或者 https://mp.weixin.qq.com/s/8letL1Z5XiFf-6Lw4GLe5Q   或者   https://mp.weixin.qq.com/s/mnkwE67OPbGwHccqrePRrQ
5. 窦华书，一个力学公理的建立揭开了湍流的秘密， https://blog.sciencenet.cn/blog-3057857-1383011.html
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) a5 }3 \7 t' L; [. r6. 窦华书，千禧年大奖难题之一纳维-斯托克斯方程的解的存在性与光滑性的证明, 科学网博文，2022年5月。

https://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=3057857&do=blog&id=1337452
7. 窦华书，我是怎样创立能量梯度理论的？
  \6 A, M+ x' I  M  o
https://mp.weixin.qq.com/s/tujupDNxbClLCFXGBKJVIA
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