MATLAB应用——数据分析与统计

/ A9 p- ^3 j6 O+ X- `

数学建模是用数学方法解决各种实际问题的桥梁，它已经渗透到各个领域，而且发挥出越来越重要的作用。面对自然科学和工程应用中的难题，大部分人无从入手，而个别人却能短时间内给出切实可行的解决方案，其差别往往在于驾驭数学知识的能力不同。现代计算机技术的应用不仅减少了计算错误，而且加强了数学应用者解决问题的能力。MATLAB是一款常用的数据处理软件，为了更好的应用MATLAB软件，我将整理好的MATLAB函数分享到今日头条上，以利己利人查阅。

7 S1 a0 Q6 Q4 ^7 w0 f

MATLAB提供的很多数据分析与统计函数都是面向列的，即矩阵中的每一列代表一个变量的多个观测值，其列数对应于变量数，行数对应于测量点数。

' k7 ^& ^) G1 l( a/ O# O

max和min函数可求出数据的最大值和最小值，mean和std函数可求出数据的均值和标准差，sum和prod函数可求出数据元素和与数据元素积。例如，对MATLAB内含的某城市24小时的车流量数据count.dat可作分析：

% [( C' P: L. T4 q, ?8 v

load count.dat

; E4 G* ^& E8 i+ B9 U

mx=max(count)

9 H$ p, b; |! O# m( T

mx = 114 145 257

3 y$ j2 d2 f! w* f2 @! X

mu=mean(count)

mu = 32.0000 46.5417 65.5833

sigma=std(count)

6 ^" L/ o+ S7 H* S3 c. Z# m- U

sigma = 25.3703 41.4057 68.0281

1 g& e1 _4 v1 c1 c6 p

对有些函数还可给出位置，例如，在求出最小值的同时，可得到最小值所在的位置(行号)：

[mx,indx]=min(count)

( E* y d- z1 b S2 z! l& L

mx = 7 9 7

indx = 2 23 24

7 x* K% o& k( B$ j: h) v

1、协方差和相关系数

# k2 R4 E( V: I+ {2 f& B2 d. [

cov函数可以求出单个变量的协方差，而corrcoef函数可求出两个变量之间的相关系数，例如：

5 Z4 O) W+ z% C' w- r/ V5 c8 O! C

cv=cov(count)

/ n6 y2 x4 Q6 e/ s% c

cv = 1.0e+003 *

0.6437 0.9802 1.6567

0.9802 1.7144 2.6908

1.6567 2.6908 4.6278

cr=corrcoef(count)

cr =

1.0000 0.9331 0.9599

: M) W9 V, B% r d" \3 B; f

0.9331 1.0000 0.9553

0.9599 0.9553 1.0000

( r3 `' K" j+ p. B; a

2、数据预处理

在MATLAB中遇到超出范围的数据时均用NaN (非数值) 表示，而且在任何运算中，只要包含NaN，就将它传递到结果中，因此在对数据进行分析前，应对数据中出现的NaN作剔除处理。例如：

a=[1 2 3;5 NaN 8;7 4 2];

0 G/ U% A: r# U) ^: G/ D

sum(a)

ans = 13 NaN 13

在矢量x中删除NaN元素，可有下列四种方法：

(1)  i=find(~isnan(x))；x=x(i)。

(2)  x=x(find(~isnan(x)))。

" h4 u L J1 _- i9 ^) D

(3)  x=x(~isnan(x))。

8 w% L: ~/ m- i# p

(4)  x(isnan(x))=[ ]。

在矩阵X中删除NaN所在的行，可输入

X(any(isnan(X))，：)=[ ]；

经过这种预处理后的数据，可进行各种分析和统计操作。

3、回归和曲线拟合

3 t! C8 e: j( n6 w1 _4 s& d \

对给定的数据进行拟合，可采用多项式回归，也可采用其它信号形式的回归，其基本原理是最小二乘法，这一功能实现在MATLAB中显得轻而易举。

, J) a) ~5 U0 X2 B" F

例1：设通过测量得到一组时间t与变量y的数据：

/ }: ], M. ]6 q0 B/ c

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

y=[0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.40];

3 Q# I+ k7 r. E' C+ s! x9 u

4 b" P# U- t k/ y$ H5 h" @

进行回归，可得到两种不同的结果。MATLAB程序如下：

. c% s5 j% }& Z6 k& n

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

y=[.5 .82 1.14 1.25 1.35 1.40];

X1=[ones(size(t)) t t.^2];

a=X1\y;

X2=[ones(size(t)) exp(–t) t.*exp(–t)];

+ B: n/ d' n, [

b=X2\y;

4 ?' r5 N$ Z# |( c$ P" [

T=[0:.1:2.5];

3 C0 x% W8 O: C# C0 e% n

Y1=[ones(size(T)) T T.^2]*a;

" {1 h1 v/ E! z; _& I

Y2=[ones(size(T)) exp(-T) T.*exp(-T)]*b;

4 V# c3 V) E; e% _, P3 x

figure(1)

& L! x1 U8 S' M4 D9 ]3 i# @8 v

subplot(1,2,1)

" ?8 M: H1 G5 C0 G

plot(T,Y1,-,t,y,o),grid on

title(多项式回归)

3 w9 ~0 r5 @2 R, P

subplot(1,2,2)

( M" F3 d, T6 d9 d( a: K/ c

plot(T,Y2,-,t,y,o),grid on

title(指数函数回归)

. u; H; y! @6 t

Q+ b) q. ?5 w" H) Q3 |0 D# L

例2 已知变量y与x1，x2有关，测得一组数据为

　　x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1 ];

0 O8 M* r# z- F4 E

　　x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4 ];

　　y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

# O9 V% K9 }1 l3 a

采用来拟合，则有

x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1];

x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4];

y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

/ G& U& c2 E) A9 x/ W

X=[ones(size(x1)) x1 x2];

% _6 `0 {' Y) a

a=X\y

- ?# y! o }) h. v: {

a = 0.1018 0.4844 −0.2847

因此数据的拟合模型为

- ~- o3 f% `. D3 e# u5 s

y=0.1018+0.4844x1−0.2487x2

6 P- ]$ r; B9 r# V; G) ] ]1 }! B

4、傅里叶分析与FFT

利用MATLAB提供的FFT函数可方便地计算出信号的傅里叶变换，从而在频域上对信号进行分析。

例1 ：混合频率信号成分分析。有一信号x由三种不同频率的正弦信号混合而成，通过得到信号的DFT，确定出信号的频率及其强度关系，程序如下：

2 V& R+ Y. O; s7 c

t=0:1/119:1;

x=5*sin(2*pi*20*t)+3*sin(2*pi*30*t)+sin(2*pi*45*t);

8 v) b9 ~1 g1 g! P) U1 J/ ]5 c

y=fft(x);

- @" j! U$ Q. [1 j* j

m=abs(y);

% A' M* @) E; c6 ]4 G

f=(0:length(y) -1)*119/length(y);

figure(1)

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

title(多频率混合信号)

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

- |" A2 t8 _: Q" D% d7 o

subplot(2,1,2),plot(f,m)

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

- |0 s( p# _ r( b! d( c v% E

xlabel(Frequency (Hertz))

8 H7 O* d( S* Z: T6 h# D1 @

例2 ：信号在传输过程中，由于受信道或环境影响，在接收端得到的是噪声环境下的信号。我们利用FFT函数对这一信号进行傅里叶分析，从而确定信号的频率，程序如下：

t=0:1/199:1;

( Z$ I2 i7 ^- e/ T. B8 O

x=sin(2*pi*50*t)+1.2*randn(size(t)); ％噪声中的信号

y=fft(x);

- i) y8 I+ w! G2 j2 t1 J r

m=abs(y);

) V3 Y4 L) t& r* }9 c

f=(0:length(y) -1)*199/length(y);

3 t3 U9 K" y4 D# D8 r

figure(1)

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

; ^8 ?+ W; }- \6 B1 k9 Q

title(信号检测)

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

" _4 {1 Y" k5 q8 e" }

subplot(2,1,2),plot(f,m)

; k5 b* l% D4 j0 {

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

xlabel(Frequency (Hertz))

4 ]( g& K+ @( _. S& A/ Q

. t, X2 M& f: ]

例3 ：天文学家记录了300年来太阳黑子的活动情况，我们对这组数据进行傅里叶分析，从而得出太阳黑子的活动周期。MATLAB程序如下：

load sunspot.dat

' G6 U7 B) A! W7 b3 J

year=sunspot(:,1);

wolfer=sunspot(:,2);

8 R$ _( `( W+ k: R

figure(1)

; H$ p$ K% l# {" L2 R7 f5 ?6 v

subplot(2,1,1)

plot(year,wolfer)

title(原始数据)

' M8 S6 f' m/ I4 X

Y=fft(wolfer);

N=length(Y);

Y(1)=[];

2 O1 P( P' M# C

power=abs(Y(1:N/2)).^2;

# V ?: k A3 Q5 J1 W

nyquist=1/2;

7 s2 A3 X* ]3 Q

freq=(1:N/2)/(N/2)*nyquist;

- i; r7 o3 ^3 _) L0 _

period=1./freq;

subplot(2,1,2)

plot(period,power)

1 `* S s2 N: B [/ b, G

title(功率谱), grid on

8 p. A, S+ h( U

axis([0 40 0 2e7])

1 m* F& Z6 Z- Z2 U4 z- j/ @

各位读者朋友，感谢您的阅读，您若对工程应用中的数学问题感兴趣，欢迎关注我，愿我们一起讨论和成长！！！

* ?3 I" {- J+ b8 {