MATLAB应用——数据分析与统计

数学建模是用数学方法解决各种实际问题的桥梁，它已经渗透到各个领域，而且发挥出越来越重要的作用。面对自然科学和工程应用中的难题，大部分人无从入手，而个别人却能短时间内给出切实可行的解决方案，其差别往往在于驾驭数学知识的能力不同。现代计算机技术的应用不仅减少了计算错误，而且加强了数学应用者解决问题的能力。MATLAB是一款常用的数据处理软件，为了更好的应用MATLAB软件，我将整理好的MATLAB函数分享到今日头条上，以利己利人查阅。

. w9 U4 K/ X9 v

MATLAB提供的很多数据分析与统计函数都是面向列的，即矩阵中的每一列代表一个变量的多个观测值，其列数对应于变量数，行数对应于测量点数。

max和min函数可求出数据的最大值和最小值，mean和std函数可求出数据的均值和标准差，sum和prod函数可求出数据元素和与数据元素积。例如，对MATLAB内含的某城市24小时的车流量数据count.dat可作分析：

- e- @$ E/ Y$ S1 }) k& C

load count.dat

0 E5 j& k0 \7 u# I/ Z

mx=max(count)

0 w$ b+ o5 t9 F, @

mx = 114 145 257

mu=mean(count)

" }8 n* h& D$ l- I

mu = 32.0000 46.5417 65.5833

sigma=std(count)

9 X% A: R8 Z( v

sigma = 25.3703 41.4057 68.0281

对有些函数还可给出位置，例如，在求出最小值的同时，可得到最小值所在的位置(行号)：

- B; @% g" h+ v' t" O6 e

[mx,indx]=min(count)

V2 p, i9 G, `' K* o

mx = 7 9 7

5 s/ p% U8 p1 y) Q" ^7 s9 I" t

indx = 2 23 24

1、协方差和相关系数

& }0 {. z& L3 P- E

cov函数可以求出单个变量的协方差，而corrcoef函数可求出两个变量之间的相关系数，例如：

& z. h: ?3 e6 a& _

cv=cov(count)

% r$ I2 R3 U. e6 j% ^# ]9 Y

cv = 1.0e+003 *

7 n) p& n* O4 Y2 _

0.6437 0.9802 1.6567

; E$ \6 K) } K. I0 `

0.9802 1.7144 2.6908

1.6567 2.6908 4.6278

; K/ X. N- k3 I2 @) c( R

cr=corrcoef(count)

cr =

1.0000 0.9331 0.9599

0.9331 1.0000 0.9553

0.9599 0.9553 1.0000

2、数据预处理

5 Y+ s. o5 R. `$ x$ q

在MATLAB中遇到超出范围的数据时均用NaN (非数值) 表示，而且在任何运算中，只要包含NaN，就将它传递到结果中，因此在对数据进行分析前，应对数据中出现的NaN作剔除处理。例如：

a=[1 2 3;5 NaN 8;7 4 2];

" g0 k! c3 e# z {0 i+ F

sum(a)

ans = 13 NaN 13

: l3 b6 u3 {5 V- [5 E

在矢量x中删除NaN元素，可有下列四种方法：

(1)  i=find(~isnan(x))；x=x(i)。

(2)  x=x(find(~isnan(x)))。

) R4 l- T- [9 g+ e8 t! m. L

(3)  x=x(~isnan(x))。

(4)  x(isnan(x))=[ ]。

在矩阵X中删除NaN所在的行，可输入

X(any(isnan(X))，：)=[ ]；

- s2 M" q6 `- `# ]( a# Z2 b* m5 G$ l

经过这种预处理后的数据，可进行各种分析和统计操作。

* F* x4 e# y( i) [( y$ r

3、回归和曲线拟合

对给定的数据进行拟合，可采用多项式回归，也可采用其它信号形式的回归，其基本原理是最小二乘法，这一功能实现在MATLAB中显得轻而易举。

例1：设通过测量得到一组时间t与变量y的数据：

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

: p$ A' O5 B. {& C

y=[0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.40];

进行回归，可得到两种不同的结果。MATLAB程序如下：

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

% Q! h- {$ x% u9 U% G1 p1 H' N

y=[.5 .82 1.14 1.25 1.35 1.40];

9 H( a6 N! w- o( g: }

X1=[ones(size(t)) t t.^2];

0 v" H( ?5 C! Y

a=X1\y;

Y- h( J8 D/ l

X2=[ones(size(t)) exp(–t) t.*exp(–t)];

% y: B$ f+ C S, }$ x. m

b=X2\y;

$ M2 |9 n, O7 t W6 ?* K

T=[0:.1:2.5];

5 C! A6 k. ^. B' I* V! J2 j

Y1=[ones(size(T)) T T.^2]*a;

% v/ ?$ C' h, L

Y2=[ones(size(T)) exp(-T) T.*exp(-T)]*b;

* A: ^8 U9 @/ g4 U4 p5 W9 A

figure(1)

; S& z7 J: \8 C5 D# [

subplot(1,2,1)

plot(T,Y1,-,t,y,o),grid on

4 q7 s$ H' w* _/ C6 V* A; c

title(多项式回归)

8 X1 |) x5 U" L

subplot(1,2,2)

plot(T,Y2,-,t,y,o),grid on

# c3 u- H: a4 V# Z' Y0 i5 ^, N, a% o) r

title(指数函数回归)

例2 已知变量y与x1，x2有关，测得一组数据为

' C9 h& f. c' v* f5 g2 p2 W

　　x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1 ];

　　x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4 ];

　　y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

& ^ P, Y7 X/ m) g3 V

采用来拟合，则有

% v/ v) D+ P- w. `$ b5 X' ^( [

x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1];

x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4];

( f* C' g% t6 y) _& }1 D) s3 g R4 H7 i! \

y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

X=[ones(size(x1)) x1 x2];

a=X\y

8 x( a" B/ {9 G7 e9 ]6 ^4 J

a = 0.1018 0.4844 −0.2847

3 Y% w9 p2 Q4 T* g& q, Z

因此数据的拟合模型为

y=0.1018+0.4844x1−0.2487x2

. @7 }# \' e/ u1 r- g) J

4、傅里叶分析与FFT

利用MATLAB提供的FFT函数可方便地计算出信号的傅里叶变换，从而在频域上对信号进行分析。

6 x4 f) k+ d! c

例1 ：混合频率信号成分分析。有一信号x由三种不同频率的正弦信号混合而成，通过得到信号的DFT，确定出信号的频率及其强度关系，程序如下：

& _2 Y2 m- e0 R

t=0:1/119:1;

x=5*sin(2*pi*20*t)+3*sin(2*pi*30*t)+sin(2*pi*45*t);

y=fft(x);

m=abs(y);

f=(0:length(y) -1)*119/length(y);

figure(1)

" e M; @) @0 c. k4 P5 f

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

title(多频率混合信号)

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

7 O% o( j- k; x2 i

subplot(2,1,2),plot(f,m)

7 T% Y" o' c& T; f

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

5 j3 L% N: E5 i6 F1 H7 c

xlabel(Frequency (Hertz))

" r+ @8 K8 o0 [! l; e

6 v) Q9 l; ?1 ]) ]; Z8 x

例2 ：信号在传输过程中，由于受信道或环境影响，在接收端得到的是噪声环境下的信号。我们利用FFT函数对这一信号进行傅里叶分析，从而确定信号的频率，程序如下：

* j1 ^6 z* @' t

t=0:1/199:1;

x=sin(2*pi*50*t)+1.2*randn(size(t)); ％噪声中的信号

y=fft(x);

m=abs(y);

f=(0:length(y) -1)*199/length(y);

4 l8 z) E# `& F8 m2 M. j/ B

figure(1)

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

title(信号检测)

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

7 u+ _) E) W) f7 q) N6 `& k, [

subplot(2,1,2),plot(f,m)

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

xlabel(Frequency (Hertz))

' R% G7 U3 c9 Z0 t' b

例3 ：天文学家记录了300年来太阳黑子的活动情况，我们对这组数据进行傅里叶分析，从而得出太阳黑子的活动周期。MATLAB程序如下：

* T$ g( S% G6 x( E& X, [

load sunspot.dat

year=sunspot(:,1);

$ d4 A& S3 v4 S6 a, t

wolfer=sunspot(:,2);

figure(1)

! ?" ? H6 K* `6 M0 d5 u

subplot(2,1,1)

# M% ]6 p" M% {0 Y+ l9 \# l6 t6 k

plot(year,wolfer)

title(原始数据)

. y/ Q# L! x$ d. L

Y=fft(wolfer);

N=length(Y);

, T- d9 N I5 w# f9 m2 s8 O

Y(1)=[];

power=abs(Y(1:N/2)).^2;

nyquist=1/2;

freq=(1:N/2)/(N/2)*nyquist;

* ~! |5 G s7 z, b% t" U @

period=1./freq;

subplot(2,1,2)

; Y% y0 v8 U, g, `6 ^& h$ ?- J7 ~

plot(period,power)

title(功率谱), grid on

axis([0 40 0 2e7])

5 H d3 V; Z2 h! x# [

各位读者朋友，感谢您的阅读，您若对工程应用中的数学问题感兴趣，欢迎关注我，愿我们一起讨论和成长！！！

# A: L$ X6 p" I( ?+ x