MATLAB应用——数据分析与统计

; ~8 V0 O% u4 v1 c& r O

数学建模是用数学方法解决各种实际问题的桥梁，它已经渗透到各个领域，而且发挥出越来越重要的作用。面对自然科学和工程应用中的难题，大部分人无从入手，而个别人却能短时间内给出切实可行的解决方案，其差别往往在于驾驭数学知识的能力不同。现代计算机技术的应用不仅减少了计算错误，而且加强了数学应用者解决问题的能力。MATLAB是一款常用的数据处理软件，为了更好的应用MATLAB软件，我将整理好的MATLAB函数分享到今日头条上，以利己利人查阅。

MATLAB提供的很多数据分析与统计函数都是面向列的，即矩阵中的每一列代表一个变量的多个观测值，其列数对应于变量数，行数对应于测量点数。

max和min函数可求出数据的最大值和最小值，mean和std函数可求出数据的均值和标准差，sum和prod函数可求出数据元素和与数据元素积。例如，对MATLAB内含的某城市24小时的车流量数据count.dat可作分析：

load count.dat

mx=max(count)

mx = 114 145 257

mu=mean(count)

& }5 A3 d; `( _3 w8 s) K8 o

mu = 32.0000 46.5417 65.5833

sigma=std(count)

sigma = 25.3703 41.4057 68.0281

对有些函数还可给出位置，例如，在求出最小值的同时，可得到最小值所在的位置(行号)：

[mx,indx]=min(count)

: O6 R( Z: k; [1 n+ B

mx = 7 9 7

& p; {* y" v$ h# C2 n+ R* M

indx = 2 23 24

1、协方差和相关系数

cov函数可以求出单个变量的协方差，而corrcoef函数可求出两个变量之间的相关系数，例如：

cv=cov(count)

% f% R8 F* `1 t" J: {- a: N

cv = 1.0e+003 *

0.6437 0.9802 1.6567

* u( j! u& X3 {( H8 o, P, M

0.9802 1.7144 2.6908

8 H6 {/ c9 ~4 Y7 } E. U: d# P

1.6567 2.6908 4.6278

cr=corrcoef(count)

cr =

1.0000 0.9331 0.9599

3 b; P8 d9 p) U# y; f

0.9331 1.0000 0.9553

0.9599 0.9553 1.0000

7 v$ m4 x$ R) e6 {

2、数据预处理

在MATLAB中遇到超出范围的数据时均用NaN (非数值) 表示，而且在任何运算中，只要包含NaN，就将它传递到结果中，因此在对数据进行分析前，应对数据中出现的NaN作剔除处理。例如：

% y- u, T7 f+ x7 J* H

a=[1 2 3;5 NaN 8;7 4 2];

sum(a)

' ?8 V9 T0 O/ {- @% s

ans = 13 NaN 13

在矢量x中删除NaN元素，可有下列四种方法：

0 m w {; e# L

(1)  i=find(~isnan(x))；x=x(i)。

(2)  x=x(find(~isnan(x)))。

; ]" L! a" P: x- ^

(3)  x=x(~isnan(x))。

(4)  x(isnan(x))=[ ]。

Z2 `! {/ Q4 J9 p$ m& k

在矩阵X中删除NaN所在的行，可输入

/ S1 M- ]8 X2 }# K, R

X(any(isnan(X))，：)=[ ]；

8 d& }; b5 v2 P

经过这种预处理后的数据，可进行各种分析和统计操作。

( `# |. B2 H! i: Q5 |+ B, L

3、回归和曲线拟合

( m2 F% E) D9 U$ _$ D$ e4 R+ [

对给定的数据进行拟合，可采用多项式回归，也可采用其它信号形式的回归，其基本原理是最小二乘法，这一功能实现在MATLAB中显得轻而易举。

例1：设通过测量得到一组时间t与变量y的数据：

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

' z( O; U, i( v; v' _+ K5 [

y=[0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.40];

5 _5 g. C3 ^2 Z' z8 d5 I" E

进行回归，可得到两种不同的结果。MATLAB程序如下：

1 v$ D# t6 J4 S: i1 J6 _

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

B: x- c- J: B$ F, @' p8 b# [

y=[.5 .82 1.14 1.25 1.35 1.40];

X1=[ones(size(t)) t t.^2];

* I/ i7 P5 R7 C; m

a=X1\y;

: b0 w, A0 u; p

X2=[ones(size(t)) exp(–t) t.*exp(–t)];

b=X2\y;

% g) G" R q( a# C

T=[0:.1:2.5];

+ Z- _" z) h" Q# [3 {

Y1=[ones(size(T)) T T.^2]*a;

Y2=[ones(size(T)) exp(-T) T.*exp(-T)]*b;

' e, [( L: I' Y; k; C" Y$ _/ l" A

figure(1)

subplot(1,2,1)

: c, `9 `3 Q+ W; A

plot(T,Y1,-,t,y,o),grid on

title(多项式回归)

subplot(1,2,2)

plot(T,Y2,-,t,y,o),grid on

title(指数函数回归)

, S- e3 s/ T2 k- c) \. S

例2 已知变量y与x1，x2有关，测得一组数据为

$ b* A# \. o, I+ p# K( J0 e4 {

　　x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1 ];

　　x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4 ];

　　y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

+ b4 i0 l0 I8 }0 _

采用来拟合，则有

x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1];

! C! M: m# `5 f4 p7 U, o s

x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4];

4 g, t5 g6 R2 L4 e: D

y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

; ~& p( c' U( g2 B

X=[ones(size(x1)) x1 x2];

a=X\y

1 ~. x2 T( c* E( X8 O

a = 0.1018 0.4844 −0.2847

, p# Y( M3 z* c* t7 h) B

因此数据的拟合模型为

y=0.1018+0.4844x1−0.2487x2

4、傅里叶分析与FFT

利用MATLAB提供的FFT函数可方便地计算出信号的傅里叶变换，从而在频域上对信号进行分析。

' ^- e b+ Z' P+ w! P

例1 ：混合频率信号成分分析。有一信号x由三种不同频率的正弦信号混合而成，通过得到信号的DFT，确定出信号的频率及其强度关系，程序如下：

t=0:1/119:1;

x=5*sin(2*pi*20*t)+3*sin(2*pi*30*t)+sin(2*pi*45*t);

( a4 B2 r! ?& f: t! |

y=fft(x);

m=abs(y);

& p4 ^& G. V+ F

f=(0:length(y) -1)*119/length(y);

figure(1)

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

title(多频率混合信号)

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

subplot(2,1,2),plot(f,m)

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

5 _! h% O4 n' A4 B/ \! G+ E7 L0 B

xlabel(Frequency (Hertz))

例2 ：信号在传输过程中，由于受信道或环境影响，在接收端得到的是噪声环境下的信号。我们利用FFT函数对这一信号进行傅里叶分析，从而确定信号的频率，程序如下：

0 S% ?% E1 R c% l& s, S3 U

t=0:1/199:1;

x=sin(2*pi*50*t)+1.2*randn(size(t)); ％噪声中的信号

. E* O( |; O/ ?. B4 V5 U

y=fft(x);

m=abs(y);

f=(0:length(y) -1)*199/length(y);

figure(1)

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

2 {& B L8 K- |8 Q/ S

title(信号检测)

_, n% h8 `, f# [. o$ _

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

subplot(2,1,2),plot(f,m)

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

xlabel(Frequency (Hertz))

3 S. g/ {6 w6 w7 H5 g: Q

例3 ：天文学家记录了300年来太阳黑子的活动情况，我们对这组数据进行傅里叶分析，从而得出太阳黑子的活动周期。MATLAB程序如下：

2 X/ H: r" m. M( V5 z2 A2 q

load sunspot.dat

year=sunspot(:,1);

# o' x7 t$ C2 Y, U/ H* o% S* {

wolfer=sunspot(:,2);

figure(1)

subplot(2,1,1)

$ l& `5 e. t8 Q

plot(year,wolfer)

9 J, R' H' h* I# c1 V4 N. w

title(原始数据)

Y=fft(wolfer);

4 y k/ I y/ i# i7 _5 y2 f* W

N=length(Y);

" A/ c, h& P) m& P- m3 y \

Y(1)=[];

5 {4 P) i" L3 _# u$ v

power=abs(Y(1:N/2)).^2;

; j8 Q' T( w t8 `

nyquist=1/2;

freq=(1:N/2)/(N/2)*nyquist;

period=1./freq;

subplot(2,1,2)

$ \7 j, s( w2 |- Z( G$ c1 f

plot(period,power)

title(功率谱), grid on

8 y% R! v! R9 r; X* S/ W

axis([0 40 0 2e7])

2 o+ N& P) A2 e5 E/ H

各位读者朋友，感谢您的阅读，您若对工程应用中的数学问题感兴趣，欢迎关注我，愿我们一起讨论和成长！！！

7 o7 y5 F2 Y* v# m& `. a5 ^ ; P9 j" X+ ~* v' ?- _ 7 C7 S% i0 e: s7 Z' D0 `