MATLAB应用——数据分析与统计

% ]" h7 x+ a* H9 c, z" Z

数学建模是用数学方法解决各种实际问题的桥梁，它已经渗透到各个领域，而且发挥出越来越重要的作用。面对自然科学和工程应用中的难题，大部分人无从入手，而个别人却能短时间内给出切实可行的解决方案，其差别往往在于驾驭数学知识的能力不同。现代计算机技术的应用不仅减少了计算错误，而且加强了数学应用者解决问题的能力。MATLAB是一款常用的数据处理软件，为了更好的应用MATLAB软件，我将整理好的MATLAB函数分享到今日头条上，以利己利人查阅。

MATLAB提供的很多数据分析与统计函数都是面向列的，即矩阵中的每一列代表一个变量的多个观测值，其列数对应于变量数，行数对应于测量点数。

- j2 P4 M- \9 D

max和min函数可求出数据的最大值和最小值，mean和std函数可求出数据的均值和标准差，sum和prod函数可求出数据元素和与数据元素积。例如，对MATLAB内含的某城市24小时的车流量数据count.dat可作分析：

' [9 E* A9 o% F: L

load count.dat

- o% K& [6 v& o" f2 P

mx=max(count)

mx = 114 145 257

mu=mean(count)

! Z/ u9 n! c* Q5 N; q1 b

mu = 32.0000 46.5417 65.5833

sigma=std(count)

! k( P' W! b+ G

sigma = 25.3703 41.4057 68.0281

: ]+ r% t+ D* o2 ~" G

对有些函数还可给出位置，例如，在求出最小值的同时，可得到最小值所在的位置(行号)：

[mx,indx]=min(count)

mx = 7 9 7

indx = 2 23 24

# G0 O) Y) g" R* z8 }5 K

1、协方差和相关系数

8 J- Y3 ]7 u! A: j

cov函数可以求出单个变量的协方差，而corrcoef函数可求出两个变量之间的相关系数，例如：

5 F y ]9 ?0 r; {

cv=cov(count)

2 X* ~, Z% c0 V8 m4 u$ |

cv = 1.0e+003 *

0.6437 0.9802 1.6567

0.9802 1.7144 2.6908

) N* q$ O) b% s7 n- n/ g$ q2 ^0 f

1.6567 2.6908 4.6278

4 p$ N' p7 K0 Z6 Z" h. B6 A: L

cr=corrcoef(count)

4 b7 B* A' |2 m1 \9 _ L( l

cr =

4 @0 Y8 g) G- ?# X8 b# O

1.0000 0.9331 0.9599

0.9331 1.0000 0.9553

8 E% R# O" g0 Z( A( o! q

0.9599 0.9553 1.0000

2、数据预处理

3 e, [- h* A( S5 `) V! w, C

在MATLAB中遇到超出范围的数据时均用NaN (非数值) 表示，而且在任何运算中，只要包含NaN，就将它传递到结果中，因此在对数据进行分析前，应对数据中出现的NaN作剔除处理。例如：

2 R9 m* y$ x1 J3 k- ^/ s4 f

a=[1 2 3;5 NaN 8;7 4 2];

sum(a)

$ s( X ~1 G8 w3 M3 U" e1 J

ans = 13 NaN 13

在矢量x中删除NaN元素，可有下列四种方法：

(1)  i=find(~isnan(x))；x=x(i)。

1 Q$ y( M8 R+ T; H5 `- u

(2)  x=x(find(~isnan(x)))。

(3)  x=x(~isnan(x))。

# m, F: [7 |" m6 @! O1 i

(4)  x(isnan(x))=[ ]。

在矩阵X中删除NaN所在的行，可输入

X(any(isnan(X))，：)=[ ]；

经过这种预处理后的数据，可进行各种分析和统计操作。

3、回归和曲线拟合

! ~+ X5 ?+ h' U- P& f

对给定的数据进行拟合，可采用多项式回归，也可采用其它信号形式的回归，其基本原理是最小二乘法，这一功能实现在MATLAB中显得轻而易举。

例1：设通过测量得到一组时间t与变量y的数据：

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

/ t) ?: g6 Q( G. ?" |" _& h* m

y=[0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.40];

" E0 ~, [3 [& `9 S4 ^

进行回归，可得到两种不同的结果。MATLAB程序如下：

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

( F* H" z/ r7 {2 J6 ]

y=[.5 .82 1.14 1.25 1.35 1.40];

0 A! U/ C5 {8 M1 @( M6 \) c9 o; r

X1=[ones(size(t)) t t.^2];

' l2 x9 u' f9 [, S: Q& f4 T

a=X1\y;

$ D7 g* r6 T5 I0 V! i

X2=[ones(size(t)) exp(–t) t.*exp(–t)];

! V: g% _1 A# k2 e

b=X2\y;

7 c+ n; c0 b( {) k& l' q3 V

T=[0:.1:2.5];

Y1=[ones(size(T)) T T.^2]*a;

/ C' y: E5 N. A* M

Y2=[ones(size(T)) exp(-T) T.*exp(-T)]*b;

# t* d n' J5 Z: k+ ?3 s

figure(1)

9 }2 P4 a' X3 U' M* Z% \7 @

subplot(1,2,1)

plot(T,Y1,-,t,y,o),grid on

title(多项式回归)

' O' K, G9 u# k; W( N

subplot(1,2,2)

8 D/ o" K4 W. H7 \

plot(T,Y2,-,t,y,o),grid on

title(指数函数回归)

% ^+ U+ S5 y8 P* x% `. |7 L+ X$ K% t

例2 已知变量y与x1，x2有关，测得一组数据为

　　x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1 ];

( q7 a1 H! o, }

　　x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4 ];

* d1 B: |% V# H4 A9 Q, t

　　y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

采用来拟合，则有

$ i/ C0 k% e4 q

x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1];

x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4];

/ Z) M0 c4 V* t' G$ L

y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

: f0 U3 w5 W. [* Z

X=[ones(size(x1)) x1 x2];

% C* F7 @8 s/ P" r; ^; i1 H

a=X\y

a = 0.1018 0.4844 −0.2847

# E- x) p5 ~# f, R' V. w3 K

因此数据的拟合模型为

4 h0 @+ S& L1 t( V: t$ E5 ]8 c* n

y=0.1018+0.4844x1−0.2487x2

4、傅里叶分析与FFT

8 P1 }+ p: M4 _- e! p1 X

利用MATLAB提供的FFT函数可方便地计算出信号的傅里叶变换，从而在频域上对信号进行分析。

) z1 |& ?% D- r. }3 t1 M, A0 E

例1 ：混合频率信号成分分析。有一信号x由三种不同频率的正弦信号混合而成，通过得到信号的DFT，确定出信号的频率及其强度关系，程序如下：

t=0:1/119:1;

/ _' Z( P5 r9 q0 Y# E

x=5*sin(2*pi*20*t)+3*sin(2*pi*30*t)+sin(2*pi*45*t);

( `6 N& C1 b. V' {. |

y=fft(x);

% C, t, F9 @' A5 Q% i

m=abs(y);

f=(0:length(y) -1)*119/length(y);

figure(1)

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

title(多频率混合信号)

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

subplot(2,1,2),plot(f,m)

+ p R4 B4 E9 Q& n

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

xlabel(Frequency (Hertz))

例2 ：信号在传输过程中，由于受信道或环境影响，在接收端得到的是噪声环境下的信号。我们利用FFT函数对这一信号进行傅里叶分析，从而确定信号的频率，程序如下：

+ D0 }8 m2 ^( h7 r

t=0:1/199:1;

x=sin(2*pi*50*t)+1.2*randn(size(t)); ％噪声中的信号

8 ~" H7 E6 d; `2 W% ^

y=fft(x);

L, Z+ q6 b) X$ R: K

m=abs(y);

f=(0:length(y) -1)*199/length(y);

figure(1)

3 E# E1 L$ I+ S' ?3 M, l: U& L' d

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

5 G. d' M6 }+ w( H

title(信号检测)

4 F1 {: V q" G, Z

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

( X, i7 p4 ^1 B0 m7 X

subplot(2,1,2),plot(f,m)

2 e6 a; x: G H+ h9 @- M

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

xlabel(Frequency (Hertz))

( }' a% n$ S5 w) W. R% T) q6 N G- G* c

例3 ：天文学家记录了300年来太阳黑子的活动情况，我们对这组数据进行傅里叶分析，从而得出太阳黑子的活动周期。MATLAB程序如下：

1 Y+ N9 F7 j& @: m

load sunspot.dat

year=sunspot(:,1);

, M8 T" ^" ~) S0 F+ ]3 s" T

wolfer=sunspot(:,2);

figure(1)

/ W: l) D) O; ~! P7 t

subplot(2,1,1)

plot(year,wolfer)

title(原始数据)

Y=fft(wolfer);

N=length(Y);

Y(1)=[];

/ Z$ I A: g' I `+ g. B% i$ l7 x, I

power=abs(Y(1:N/2)).^2;

" z( }0 ^: M9 l3 A6 ]) h

nyquist=1/2;

freq=(1:N/2)/(N/2)*nyquist;

period=1./freq;

subplot(2,1,2)

& x4 P7 y- U5 R, j0 k: |

plot(period,power)

title(功率谱), grid on

! Q! O# o6 Y' Z( w, Y+ B

axis([0 40 0 2e7])

" u# K' g7 `- `) l& ^2 M

各位读者朋友，感谢您的阅读，您若对工程应用中的数学问题感兴趣，欢迎关注我，愿我们一起讨论和成长！！！

% J8 z. |: e& M ?4 e : H4 ?- o6 U. D I7 m 2 K$ N' j# z, Z3 ^3 z6 s8 _